Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
B = (3 + 4)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 16 + 81 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 16 et du quotient de 81 par 9.
D = 10² − 64 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 64.
E = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 237 = 948 ≤ 950 < 952 = 4 × 238 : le quotient est 237, le reste 950 − 948 = 2.
950 = 4 × 237 + 2, avec 2 < 4.
23 × 28 = 644 ≤ 666 < 667 = 23 × 29 : le quotient est 28, le reste 666 − 644 = 22.
666 = 23 × 28 + 22, avec 22 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 287 = 13 × 22 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 287 = 13 × 21 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 287 = 13 × 23 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 22, reste 1.
Comme 1 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 287 par 22 : quotient 13, reste 1.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 715 | non | non | oui | non | non |
| 8 200 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 849 | non | oui | non | oui | non |
| 8 084 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
687 → 6 + 8 + 7 = 21 715 → 7 + 1 + 5 = 13 8 200 → 8 + 2 + 0 + 0 = 10
6 849 → 6 + 8 + 4 + 9 = 27 8 084 → 8 + 0 + 8 + 4 = 20
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 8 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 648.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 8 est un diviseur de 217. » Faux. 217 = 8 × 27 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 25 − 13 + 7 = 12 + 7 = 19
B = 5 × 6 − 2 × 6 = 30 − 12 = 18
C = 97 − 4 × (15 − 6) = 97 − 4 × 9 = 97 − 36 = 61
D = [7 + 6 × (11 − 1)] ÷ 2 = [7 + 6 × 10] ÷ 2 = [7 + 60] ÷ 2 = 67 ÷ 2 = 33,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 6 − (8 − 3) = 9 × 6 − 5 = 54 − 5 = 49
3 × (8 − 3) + 4 = 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 × 11 = 43 × (10 + 1) = 43 × 10 + 43 × 1 = 430 + 43 = 473
F = 32 × 37 − 32 × 27 = 32 × (37 − 27) = 32 × 10 = 320
G = 78 + 12,6 + 22 = 78 + 22 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 3 × 3 = 3²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
93 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 93 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
125 = 5³ : cube 143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 7 = 3 × 16 − 7 = 48 − 7 = 41
B = (3 × 4)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 7 : x² + 6 = 7² + 6 = 49 + 6 = 55 et 7x = 7 × 7 = 49.
55 ≠ 49 : l'égalité est fausse pour x = 7.
Pour x = 1 : x² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 7x = 7 × 1 = 7.
7 = 7 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 6, et seulement pour 1 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 16 et 72. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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