Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
D = 13 + 36 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 36 par 9.
E = 3 × 2² − 12 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 2 et 12.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 18 = 126 ≤ 131 < 133 = 7 × 19 : le quotient est 18, le reste 131 − 126 = 5.
131 = 7 × 18 + 5, avec 5 < 7.
23 × 46 = 1 058 ≤ 1 077 < 1 081 = 23 × 47 : le quotient est 46, le reste 1 077 − 1 058 = 19.
1 077 = 23 × 46 + 19, avec 19 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 231 = 8 × 28 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 231 = 8 × 29 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 231 = 8 × 27 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 28, reste 7.
Comme 7 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 231 par 28 : quotient 8, reste 7.
3. 63 = 8 × 7 + 7
7 minibus pleins transportent 56 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 7 = 1 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 967 | non | oui | non | oui | non |
| 6 260 | oui | non | oui | non | oui |
| 125 | non | non | oui | non | non |
| 1 574 | oui | non | non | non | non |
| 321 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 967 → 5 + 9 + 6 + 7 = 27 6 260 → 6 + 2 + 6 + 0 = 14 125 → 1 + 2 + 5 = 8
1 574 → 1 + 5 + 7 + 4 = 17 321 → 3 + 2 + 1 = 6
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 4 + □ = 8 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 12
Une seule solution : 444.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 175 est un multiple de 7. » Vrai. 175 = 7 × 25 : le reste de la division de 175 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 8 + 9 × 6 = 8 + 54 = 62
B = 8 × 6 − 4 × 5 = 48 − 20 = 28
C = (8 × 5 − 8) ÷ 5 = (40 − 8) ÷ 5 = 32 ÷ 5 = 6,4
D = 1,7 + 3 × 0,2 = 1,7 + 0,6 = 2,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 × 6 − 7) × 3 = (48 − 7) × 3 = 41 × 3 = 123
8 × (8 − 4) − 9 = 8 × 4 − 9 = 32 − 9 = 23
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 54 × 5 = 2 × 5 × 54 = 10 × 54 = 540
F = 31 × 11 = 31 × (10 + 1) = 31 × 10 + 31 × 1 = 310 + 31 = 341
G = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 12 × 12 = 12²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 6 = 2 × 16 − 6 = 32 − 6 = 26
B = (2 × 4)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 4 : n² + 30 = 4² + 30 = 16 + 30 = 46 et 11n = 11 × 4 = 44.
46 ≠ 44 : l'égalité est fausse pour n = 4.
Pour n = 6 : n² + 30 = 6² + 30 = 36 + 30 = 66 et 11n = 11 × 6 = 66.
66 = 66 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 5, et seulement pour 6 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 81 et 144. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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