Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 4 × 7 = 14 + 28 = 42
B = (14 + 4) × 7 = 18 × 7 = 126
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 2² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 2 et 15.
D = 2² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 5.
E = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 60 = 420 ≤ 425 < 427 = 7 × 61 : le quotient est 60, le reste 425 − 420 = 5.
425 = 7 × 60 + 5, avec 5 < 7.
11 × 182 = 2 002 ≤ 2 007 < 2 013 = 11 × 183 : le quotient est 182, le reste 2 007 − 2 002 = 5.
2 007 = 11 × 182 + 5, avec 5 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 256 = 10 × 26 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 256 = 10 × 25 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 256 = 10 × 24 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 25, reste 6.
Comme 6 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 256 par 25 : quotient 10, reste 6.
3. 279 = 7 × 39 + 6
a) 279 jours font 39 semaines complètes et 6 jours.
Après 39 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 6 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 279 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 880 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 979 | non | oui | non | oui | non |
| 6 284 | oui | non | non | non | non |
| 591 | non | oui | non | non | non |
| 155 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 880 → 7 + 8 + 8 + 0 = 23 2 979 → 2 + 9 + 7 + 9 = 27 6 284 → 6 + 2 + 8 + 4 = 20
591 → 5 + 9 + 1 = 15 155 → 1 + 5 + 5 = 11
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 9 = 18 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 18 ; □ = 3 : 21 ; □ = 6 : 24 ; □ = 9 : 27
4 solutions : 909, 939, 969, 999.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 95 est un multiple de 4. » Faux. 95 = 4 × 23 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 61 − 4 × 9 = 61 − 36 = 25
B = 2 + 24 ÷ 4 × 4 = 2 + 6 × 4 = 2 + 24 = 26
C = 72 − 2 × (13 − 8) = 72 − 2 × 5 = 72 − 10 = 62
D = 8,1 + 6 × 1,5 = 8,1 + 9 = 17,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 × 7 + 7) × 2 = (49 + 7) × 2 = 56 × 2 = 112
3 + 5 × (6 + 8) = 3 + 5 × 14 = 3 + 70 = 73
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 4 × 65 × 25 = 4 × 25 × 65 = 100 × 65 = 6 500
G = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 = 6² 3 × 3 × 3 = 3³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²)
51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²) 118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 30 = 7² + 30 = 49 + 30 = 79 et 11n = 11 × 7 = 77.
79 ≠ 77 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 5 : n² + 30 = 5² + 30 = 25 + 30 = 55 et 11n = 11 × 5 = 55.
55 = 55 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 6, et seulement pour 5 et 6.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 27 :
5² = 25 ≤ 27 et 6² = 36 > 27.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
27 − 25 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 136 et 198. » → encore 61 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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