Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 8 + 2 × 8 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 2 par 8.
E = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 101 = 606 ≤ 610 < 612 = 6 × 102 : le quotient est 101, le reste 610 − 606 = 4.
610 = 6 × 101 + 4, avec 4 < 6.
28 × 74 = 2 072 ≤ 2 075 < 2 100 = 28 × 75 : le quotient est 74, le reste 2 075 − 2 072 = 3.
2 075 = 28 × 74 + 3, avec 3 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 91 = 8 × 10 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 91 = 8 × 11 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 91 = 8 × 12 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 3.
Comme 3 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 91 par 11 : quotient 8, reste 3.
3. 83 = 15 × 5 + 8
5 minibus pleins transportent 75 élèves ; il en reste 8 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 8 = 7 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 941 | non | oui | non | oui | non |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 4 580 | oui | non | oui | non | oui |
| 867 | non | oui | non | non | non |
| 3 194 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 941 → 4 + 9 + 4 + 1 = 18 875 → 8 + 7 + 5 = 20 4 580 → 4 + 5 + 8 + 0 = 17
867 → 8 + 6 + 7 = 21 3 194 → 3 + 1 + 9 + 4 = 17
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 1 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 711.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 522, somme des chiffres 9.
« 5 est un diviseur de 145. » Vrai. 145 = 5 × 29 : le reste de la division de 145 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 42 − 4 + 9 = 38 + 9 = 47
B = 9 × 8 − 3 × 5 = 72 − 15 = 57
C = 73 − 2 × (14 − 7) = 73 − 2 × 7 = 73 − 14 = 59
D = [3 + 3 × (10 − 5)] ÷ 5 = [3 + 3 × 5] ÷ 5 = [3 + 15] ÷ 5 = 18 ÷ 5 = 3,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (7 − 3 − 2) = 9 × (4 − 2) = 9 × 2 = 18
7 × (2 × 2 + 7) = 7 × (4 + 7) = 7 × 11 = 77
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 69 + 0,75 + 31 = 69 + 31 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 46 × 11 = 46 × (10 + 1) = 46 × 10 + 46 × 1 = 460 + 46 = 506
G = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 × 6 = 6³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (2 + 1)² = 2² + 1² » Faux. (2 + 1)² = 3² = 9, alors que 2² + 1² = 4 + 1 = 5.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 8 = 3 × 9 − 8 = 27 − 8 = 19
B = (3 × 3)² − 8 = 9² − 8 = 81 − 8 = 73
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 2n³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 178 et 233. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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