Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 18 + 42 ÷ 6 = 18 + 7 = 25
B = (18 + 42) ÷ 6 = 60 ÷ 6 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
D = 6 + 2 × 2 est une somme : c'est la somme de 6 et du produit de 2 par 2.
E = 11² − 20 est une différence : c'est la différence entre le carré de 11 et 20.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 75 = 525 ≤ 530 < 532 = 7 × 76 : le quotient est 75, le reste 530 − 525 = 5.
530 = 7 × 75 + 5, avec 5 < 7.
18 × 77 = 1 386 ≤ 1 402 < 1 404 = 18 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 402 − 1 386 = 16.
1 402 = 18 × 77 + 16, avec 16 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 351 = 10 × 34 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 351 = 10 × 35 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 351 = 10 × 36 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 1.
Comme 1 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 351 par 35 : quotient 10, reste 1.
3. 95 = 6 × 15 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 15 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 312 | oui | non | non | non | non |
| 4 080 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 069 | non | oui | non | oui | non |
| 805 | non | non | oui | non | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
7 312 → 7 + 3 + 1 + 2 = 13 4 080 → 4 + 0 + 8 + 0 = 12 3 069 → 3 + 0 + 6 + 9 = 18
805 → 8 + 0 + 5 = 13 957 → 9 + 5 + 7 = 21
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 2 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 612, 642, 672.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 135 est un multiple de 9. » Vrai. 135 = 9 × 15 : le reste de la division de 135 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 + 8 × 3 = 23 + 24 = 47
B = 12 + 48 ÷ 8 × 3 = 12 + 6 × 3 = 12 + 18 = 30
C = (7 × 5 − 6) ÷ 2 = (35 − 6) ÷ 2 = 29 ÷ 2 = 14,5
D = 3 × [29 − (9 + 5)] = 3 × [29 − 14] = 3 × 15 = 45
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (5 + 2) + 8 = 9 × 7 + 8 = 63 + 8 = 71
3 × (4 + 9 + 5) = 3 × (13 + 5) = 3 × 18 = 54
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 9 = 27 × (10 − 1) = 27 × 10 − 27 × 1 = 270 − 27 = 243
F = 8 × 82 × 125 = 8 × 125 × 82 = 1 000 × 82 = 82 000
G = 26 × 67 − 26 × 57 = 26 × (67 − 57) = 26 × 10 = 260
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 12 × 12 = 12² 3 × 3 × 3 = 3³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 40 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 40 < 49 = 7²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 9 = 5 × 9 − 9 = 45 − 9 = 36
B = (5 × 3)² − 9 = 15² − 9 = 225 − 9 = 216
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 5 = 4 × 5² − 5 = 4 × 25 − 5 = 100 − 5 = 95
B = (4a)² − 5 = (4 × 5)² − 5 = 20² − 5 = 400 − 5 = 395
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 187 et 259. » → encore 71 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225, 256.
« Je suis divisible par 5. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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