Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 26 − 5 × 5 = 26 − 25 = 1
B = (26 − 5) × 5 = 21 × 5 = 105
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 9 × 6 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 9 par 6.
D = (26 + 46) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 26 et 46 par 8.
E = 4 × (8 − 5) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 8 et 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 120 = 600 ≤ 604 < 605 = 5 × 121 : le quotient est 120, le reste 604 − 600 = 4.
604 = 5 × 120 + 4, avec 4 < 5.
16 × 137 = 2 192 ≤ 2 197 < 2 208 = 16 × 138 : le quotient est 137, le reste 2 197 − 2 192 = 5.
2 197 = 16 × 137 + 5, avec 5 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 167 = 6 × 26 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 167 = 6 × 27 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 167 = 6 × 28 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 27, reste 5.
Comme 5 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 167 par 27 : quotient 6, reste 5.
3. 42 = 8 × 5 + 2
5 minibus pleins transportent 40 élèves ; il en reste 2 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 2 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 8 289 | non | oui | non | oui | non |
| 6 800 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 038 | oui | non | non | non | non |
| 365 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
291 → 2 + 9 + 1 = 12 8 289 → 8 + 2 + 8 + 9 = 27 6 800 → 6 + 8 + 0 + 0 = 14
8 038 → 8 + 0 + 3 + 8 = 19 365 → 3 + 6 + 5 = 14
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 5 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 555.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 5 est un diviseur de 115. » Vrai. 115 = 5 × 23 : le reste de la division de 115 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 71 − 4 × 7 = 71 − 28 = 43
B = 3 × 7 − 6 × 3 = 21 − 18 = 3
C = (3 × 6 − 9) ÷ 5 = (18 − 9) ÷ 5 = 9 ÷ 5 = 1,8
D = [6 + 5 × (8 − 4)] ÷ 2 = [6 + 5 × 4] ÷ 2 = [6 + 20] ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (9 + 8) − 9 = 6 × 17 − 9 = 102 − 9 = 93
8 + 3 × (7 + 5) = 8 + 3 × 12 = 8 + 36 = 44
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 72 + 7,8 + 28 = 72 + 28 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 11 × 11 = 11² 5 × 5 × 5 = 5³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 57 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 57 < 64 = 8²)
95 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 95 < 100 = 10²) 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : 4n² = 4 × 2² = 4 × 4 = 16
Pour n = 0,5 : 4n² = 4 × 0,5² = 4 × 0,25 = 1
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
5 × 5 = 25
a) Il faut 25 carreaux le long d'un côté.
25 rangées de 25 carreaux : 25² = 25 × 25 = 625
b) Il faut 625 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 134 et 200. » → encore 65 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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