Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 4² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 6.
E = 12² − 16 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 16.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 117 = 702 ≤ 704 < 708 = 6 × 118 : le quotient est 117, le reste 704 − 702 = 2.
704 = 6 × 117 + 2, avec 2 < 6.
23 × 55 = 1 265 ≤ 1 268 < 1 288 = 23 × 56 : le quotient est 55, le reste 1 268 − 1 265 = 3.
1 268 = 23 × 55 + 3, avec 3 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 408 = 11 × 38 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 408 = 11 × 36 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 408 = 11 × 37 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 1.
Comme 1 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 408 par 37 : quotient 11, reste 1.
3. 202 = 6 × 33 + 4, avec 4 < 6
a) Elle remplit 33 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 783 | non | oui | non | oui | non |
| 2 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 9 232 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
9 783 → 9 + 7 + 8 + 3 = 27 2 590 → 2 + 5 + 9 + 0 = 16 921 → 9 + 2 + 1 = 12
325 → 3 + 2 + 5 = 10 9 232 → 9 + 2 + 3 + 2 = 16
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 7 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 207, 297.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 175 est un multiple de 8. » Faux. 175 = 8 × 21 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 2 + 3 × 9 = 2 + 27 = 29
B = 11 + 24 ÷ 3 × 4 = 11 + 8 × 4 = 11 + 32 = 43
C = (8 + 3) × 4 − 9 = 11 × 4 − 9 = 44 − 9 = 35
D = [7 + 4 × (7 − 2)] ÷ 2 = [7 + 4 × 5] ÷ 2 = [7 + 20] ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (6 + 5) − 6 = 5 × 11 − 6 = 55 − 6 = 49
8 × (7 − 7) × 6 = 8 × 0 × 6 = 0 × 6 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 71 + 0,75 + 29 = 71 + 29 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 15 × 101 = 15 × (100 + 1) = 15 × 100 + 15 × 1 = 1 500 + 15 = 1 515
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 38 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 38 < 49 = 7²)
48 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 48 < 49 = 7²) 144 = 12² : carré
145 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 145 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 6 = 4 × 4 − 6 = 16 − 6 = 10
B = (4 × 2)² − 6 = 8² − 6 = 64 − 6 = 58
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 9 = 3 × 3² − 9 = 3 × 9 − 9 = 27 − 9 = 18
B = (3a)² − 9 = (3 × 3)² − 9 = 9² − 9 = 81 − 9 = 72
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 121 : 11 × 11 = 121, c'est-à-dire 11² = 121.
a) Le côté mesure 11 m.
4 × 11 = 44
b) Le périmètre est de 44 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 131 et 184. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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