Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 5)² = 10² = 100
B = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 22 − 5 × 3 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 5 par 3.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = (7 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 109 = 436 ≤ 439 < 440 = 4 × 110 : le quotient est 109, le reste 439 − 436 = 3.
439 = 4 × 109 + 3, avec 3 < 4.
21 × 37 = 777 ≤ 780 < 798 = 21 × 38 : le quotient est 37, le reste 780 − 777 = 3.
780 = 21 × 37 + 3, avec 3 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 173 = 7 × 25 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 173 = 7 × 24 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 173 = 7 × 23 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 24, reste 5.
Comme 5 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 173 par 24 : quotient 7, reste 5.
3. 58 = 6 × 9 + 4, avec 4 < 6
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 284 | oui | non | non | non | non |
| 4 930 | oui | non | oui | non | oui |
| 205 | non | non | oui | non | non |
| 8 091 | non | oui | non | oui | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 284 → 5 + 2 + 8 + 4 = 19 4 930 → 4 + 9 + 3 + 0 = 16 205 → 2 + 0 + 5 = 7
8 091 → 8 + 0 + 9 + 1 = 18 597 → 5 + 9 + 7 = 21
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 9
Une seule solution : 180.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 60 est divisible par 3 (60 = 3 × 20) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 210 est un multiple de 7. » Vrai. 210 = 7 × 30 : le reste de la division de 210 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 46 − 5 × 8 = 46 − 40 = 6
B = 6 × 6 − 5 × 3 = 36 − 15 = 21
C = (11 + 9) × 2 − 3 = 20 × 2 − 3 = 40 − 3 = 37
D = 3 × [20 − (3 + 3)] = 3 × [20 − 6] = 3 × 14 = 42
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (5 × 2 + 2) = 2 × (10 + 2) = 2 × 12 = 24
3 + 8 − (2 + 3) = 3 + 8 − 5 = 11 − 5 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 101 = 44 × (100 + 1) = 44 × 100 + 44 × 1 = 4 400 + 44 = 4 444
F = 2 × 98 × 50 = 2 × 50 × 98 = 100 × 98 = 9 800
G = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 7 × 7 = 7²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 88 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 88 < 100 = 10²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 6 = 3 × 16 − 6 = 48 − 6 = 42
B = (3 × 4)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : (n + 4)² = (6 + 4)² = 10² = 100
Pour n = 0,5 : (n + 4)² = (0,5 + 4)² = 4,5² = 20,25
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 167 et 225. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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