Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 3)² = 4² = 16
B = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 8) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 8 par 7.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = (13 + 3) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 13 et 3 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 108 = 972 ≤ 979 < 981 = 9 × 109 : le quotient est 108, le reste 979 − 972 = 7.
979 = 9 × 108 + 7, avec 7 < 9.
22 × 81 = 1 782 ≤ 1 795 < 1 804 = 22 × 82 : le quotient est 81, le reste 1 795 − 1 782 = 13.
1 795 = 22 × 81 + 13, avec 13 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 127 = 6 × 20 + 7 : le « reste » 7 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 127 = 6 × 22 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 127 = 6 × 21 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 1.
Comme 1 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 127 par 21 : quotient 6, reste 1.
3. 127 = 18 × 7 + 1
En 7 soirs, elle lit 126 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 5 211 | non | oui | non | oui | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 3 412 | oui | non | non | non | non |
| 9 360 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
237 → 2 + 3 + 7 = 12 5 211 → 5 + 2 + 1 + 1 = 9 325 → 3 + 2 + 5 = 10
3 412 → 3 + 4 + 1 + 2 = 10 9 360 → 9 + 3 + 6 + 0 = 18
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 2 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 822, 852, 882.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 603, somme des chiffres 9.
« 3 est un diviseur de 64. » Faux. 64 = 3 × 21 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 − 9 + 14 = 15 + 14 = 29
B = 54 ÷ 6 × 2 = 9 × 2 = 18
C = 86 − 4 × (15 − 7) = 86 − 4 × 8 = 86 − 32 = 54
D = 3,3 + 5 × 2,5 = 3,3 + 12,5 = 15,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 × 4 + 4) × 7 = (20 + 4) × 7 = 24 × 7 = 168
(6 + 7 × 8) × 2 = (6 + 56) × 2 = 62 × 2 = 124
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 9 = 42 × (10 − 1) = 42 × 10 − 42 × 1 = 420 − 42 = 378
F = 53 + 5,05 + 47 = 53 + 47 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 21 × 20 + 21 × 80 = 21 × (20 + 80) = 21 × 100 = 2 100
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 11 × 11 = 11² 2,5 × 2,5 = 2,5²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 8 = 3 × 4 − 8 = 12 − 8 = 4
B = (3 × 2)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : n² − 2n + 18 = 2² − 2 × 2 + 18 = 4 − 2 × 2 + 18 = 4 − 4 + 18 = 0 + 18 = 18
Pour n = 10 : n² − 2n + 18 = 10² − 2 × 10 + 18 = 100 − 2 × 10 + 18 = 100 − 20 + 18 = 80 + 18 = 98
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 109 :
10² = 100 ≤ 109 et 11² = 121 > 109.
a) Elle mettra 10 dalles sur chaque côté.
109 − 100 = 9
b) Il lui restera 9 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 135 et 202. » → encore 66 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.