Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
B = (4 + 3)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (16 + 16) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 16 et 16 par 4.
D = 9² − 80 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 80.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 34 = 204 ≤ 208 < 210 = 6 × 35 : le quotient est 34, le reste 208 − 204 = 4.
208 = 6 × 34 + 4, avec 4 < 6.
19 × 120 = 2 280 ≤ 2 290 < 2 299 = 19 × 121 : le quotient est 120, le reste 2 290 − 2 280 = 10.
2 290 = 19 × 120 + 10, avec 10 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 178 = 6 × 28 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 178 = 6 × 29 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 178 = 6 × 30 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 29, reste 4.
Comme 4 < 29 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 178 par 29 : quotient 6, reste 4.
3. 58 = 15 × 3 + 13
3 minibus pleins transportent 45 élèves ; il en reste 13 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 13 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 745 | non | non | oui | non | non |
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 4 041 | non | oui | non | oui | non |
| 9 210 | oui | oui | oui | non | oui |
| 1 354 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
745 → 7 + 4 + 5 = 16 921 → 9 + 2 + 1 = 12 4 041 → 4 + 0 + 4 + 1 = 9
9 210 → 9 + 2 + 1 + 0 = 12 1 354 → 1 + 3 + 5 + 4 = 13
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 5 : 6 ; □ = 8 : 9
3 solutions : 120, 150, 180.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 30 est divisible par 3 (30 = 3 × 10) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 79 est un multiple de 6. » Faux. 79 = 6 × 13 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 49 − 5 × 3 = 49 − 15 = 34
B = 45 ÷ 9 × 2 = 5 × 2 = 10
C = (6 + 8) × 4 − 16 = 14 × 4 − 16 = 56 − 16 = 40
D = [5 + 5 × (11 − 3)] ÷ 5 = [5 + 5 × 8] ÷ 5 = [5 + 40] ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (4 + 7) + 6 = 6 × 11 + 6 = 66 + 6 = 72
9 + 3 × (9 − 9) = 9 + 3 × 0 = 9 + 0 = 9
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 101 = 27 × (100 + 1) = 27 × 100 + 27 × 1 = 2 700 + 27 = 2 727
F = 29 × 74 − 29 × 64 = 29 × (74 − 64) = 29 × 10 = 290
G = 2 × 13 × 50 = 2 × 50 × 13 = 100 × 13 = 1 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9² 6 × 6 × 6 = 6³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« (3 + 4)² = 3² + 4² » Faux. (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²) 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 4 = 5 × 36 − 4 = 180 − 4 = 176
B = (5 × 6)² − 4 = 30² − 4 = 900 − 4 = 896
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : (n + 5)² = (3 + 5)² = 8² = 64
Pour n = 0,5 : (n + 5)² = (0,5 + 5)² = 5,5² = 30,25
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 260 et 328. » → encore 67 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 289, 324.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.