Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 37 − 3 × 6 est une différence : c'est la différence entre 37 et le produit de 3 par 6.
D = 3² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 9.
E = (5 + 7) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 7 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 39 = 273 ≤ 277 < 280 = 7 × 40 : le quotient est 39, le reste 277 − 273 = 4.
277 = 7 × 39 + 4, avec 4 < 7.
17 × 82 = 1 394 ≤ 1 408 < 1 411 = 17 × 83 : le quotient est 82, le reste 1 408 − 1 394 = 14.
1 408 = 17 × 82 + 14, avec 14 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 136 = 10 × 12 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 136 = 10 × 14 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 136 = 10 × 13 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 10. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 6.
Comme 6 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 136 par 13 : quotient 10, reste 6.
3. 61 = 9 × 6 + 7
6 minibus pleins transportent 54 élèves ; il en reste 7 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 7 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 5 550 | oui | oui | oui | non | oui |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 3 038 | oui | non | non | non | non |
| 5 769 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
561 → 5 + 6 + 1 = 12 5 550 → 5 + 5 + 5 + 0 = 15 785 → 7 + 8 + 5 = 20
3 038 → 3 + 0 + 3 + 8 = 14 5 769 → 5 + 7 + 6 + 9 = 27
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 7 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 672, 678.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 261, somme des chiffres 9.
« 4 est un diviseur de 96. » Vrai. 96 = 4 × 24 : le reste de la division de 96 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 4 + 4 × 8 = 4 + 32 = 36
B = 7 × 6 − 6 × 6 = 42 − 36 = 6
C = 62 − 3 × (19 − 7) = 62 − 3 × 12 = 62 − 36 = 26
D = 9,5 + 2 × 1,2 = 9,5 + 2,4 = 11,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 × (7 + 6) + 7 = 6 × 13 + 7 = 78 + 7 = 85
(9 + 4) × 3 × 3 = 13 × 3 × 3 = 39 × 3 = 117
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 + 12,6 + 80 = 20 + 80 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 39 × 12 + 39 × 88 = 39 × (12 + 88) = 39 × 100 = 3 900
G = 13 × 11 = 13 × (10 + 1) = 13 × 10 + 13 × 1 = 130 + 13 = 143
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 6 × 6 = 6²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 49 = 7² : carré
85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²) 87 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 87 < 100 = 10²)
92 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 92 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 3 = 3 × 36 − 3 = 108 − 3 = 105
B = (3 × 6)² − 3 = 18² − 3 = 324 − 3 = 321
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 2n³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 168 :
12² = 144 ≤ 168 et 13² = 169 > 168.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
168 − 144 = 24
b) Il lui restera 24 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 115 et 151. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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