Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (35 + 40) ÷ 5 = 75 ÷ 5 = 15
B = 35 + 40 ÷ 5 = 35 + 8 = 43
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (9 + 6) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 9 et 6 par 3.
D = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
E = (4 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 117 = 936 ≤ 943 < 944 = 8 × 118 : le quotient est 117, le reste 943 − 936 = 7.
943 = 8 × 117 + 7, avec 7 < 8.
25 × 52 = 1 300 ≤ 1 304 < 1 325 = 25 × 53 : le quotient est 52, le reste 1 304 − 1 300 = 4.
1 304 = 25 × 52 + 4, avec 4 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 126 = 13 × 9 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 126 = 13 × 8 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(c) 126 = 13 × 10 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 9.
3. 208 = 7 × 29 + 5
a) 208 jours font 29 semaines complètes et 5 jours.
Après 29 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 5 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 208 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 8 040 | oui | oui | oui | non | oui |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 1 593 | non | oui | non | oui | non |
| 1 676 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
807 → 8 + 0 + 7 = 15 8 040 → 8 + 0 + 4 + 0 = 12 655 → 6 + 5 + 5 = 16
1 593 → 1 + 5 + 9 + 3 = 18 1 676 → 1 + 6 + 7 + 6 = 20
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 0 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 540.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 161 est un multiple de 7. » Vrai. 161 = 7 × 23 : le reste de la division de 161 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 5 × 5 = 27 + 25 = 52
B = 7 × 3 − 4 × 5 = 21 − 20 = 1
C = 81 − 2 × (16 − 3) = 81 − 2 × 13 = 81 − 26 = 55
D = 3 × [31 − (5 + 6)] = 3 × [31 − 11] = 3 × 20 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (6 + 4) + 9 = 3 × 10 + 9 = 30 + 9 = 39
7 + 7 × (8 − 6) = 7 + 7 × 2 = 7 + 14 = 21
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 9 = 45 × (10 − 1) = 45 × 10 − 45 × 1 = 450 − 45 = 405
F = 25 × 15 + 25 × 85 = 25 × (15 + 85) = 25 × 100 = 2 500
G = 41 + 0,75 + 59 = 41 + 59 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 × 5 = 5³ 7 × 7 = 7²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 97 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 97 < 100 = 10²)
107 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 107 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 8 = 4 × 25 − 8 = 100 − 8 = 92
B = (4 × 5)² − 8 = 20² − 8 = 400 − 8 = 392
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 8 = 2² + 8 = 4 + 8 = 12 et 6n = 6 × 2 = 12.
12 = 12 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 6 : n² + 8 = 6² + 8 = 36 + 8 = 44 et 6n = 6 × 6 = 36.
44 ≠ 36 : l'égalité est fausse pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 2 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
5 × 5 = 25
a) Il faut 25 carreaux le long d'un côté.
25 rangées de 25 carreaux : 25² = 25 × 25 = 625
b) Il faut 625 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 15 et 67. » → encore 51 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 16, 25, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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