Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (7 + 4)² = 11² = 121
B = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
D = 13 + 21 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 21 par 3.
E = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 239 = 956 ≤ 957 < 960 = 4 × 240 : le quotient est 239, le reste 957 − 956 = 1.
957 = 4 × 239 + 1, avec 1 < 4.
11 × 117 = 1 287 ≤ 1 291 < 1 298 = 11 × 118 : le quotient est 117, le reste 1 291 − 1 287 = 4.
1 291 = 11 × 117 + 4, avec 4 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 298 = 11 × 27 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 298 = 11 × 26 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 298 = 11 × 28 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 1.
Comme 1 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 298 par 27 : quotient 11, reste 1.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 1 737 | non | oui | non | oui | non |
| 4 216 | oui | non | non | non | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
| 8 270 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
741 → 7 + 4 + 1 = 12 1 737 → 1 + 7 + 3 + 7 = 18 4 216 → 4 + 2 + 1 + 6 = 13
385 → 3 + 8 + 5 = 16 8 270 → 8 + 2 + 7 + 0 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 1 + □ = 4 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 315.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 87 est divisible par 3 (87 = 3 × 29) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 121 est un multiple de 6. » Faux. 121 = 6 × 20 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 5 × 6 = 24 + 30 = 54
B = 6 × 8 − 5 × 3 = 48 − 15 = 33
C = 52 − 2 × (11 − 5) = 52 − 2 × 6 = 52 − 12 = 40
D = 3,1 + 3 × 2,5 = 3,1 + 7,5 = 10,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 2) × 8 + 6 = 10 × 8 + 6 = 80 + 6 = 86
2 × (9 − 3 − 5) = 2 × (6 − 5) = 2 × 1 = 2
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 19 + 7,8 + 81 = 19 + 81 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
G = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 12 × 12 = 12² 1,5 × 1,5 = 1,5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²) 28 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 28 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²)
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 9 = 5 × 5² − 9 = 5 × 25 − 9 = 125 − 9 = 116
B = (5a)² − 9 = (5 × 5)² − 9 = 25² − 9 = 625 − 9 = 616
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 168 et 214. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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