Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 13 − 2 × 5 = 13 − 10 = 3
B = (13 − 2) × 5 = 11 × 5 = 55
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 5.
D = (5 + 9) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 9 par 5.
E = (3 + 33) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 33 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 14 = 126 ≤ 131 < 135 = 9 × 15 : le quotient est 14, le reste 131 − 126 = 5.
131 = 9 × 14 + 5, avec 5 < 9.
22 × 85 = 1 870 ≤ 1 883 < 1 892 = 22 × 86 : le quotient est 85, le reste 1 883 − 1 870 = 13.
1 883 = 22 × 85 + 13, avec 13 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 294 = 15 × 19 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 294 = 15 × 20 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 294 = 15 × 18 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 19, reste 9.
Comme 9 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 294 par 19 : quotient 15, reste 9.
3. 341 = 25 × 13 + 16
En 13 soirs, elle lit 325 pages ; il lui en reste encore 16.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 16 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 177 | non | oui | non | non | non |
| 2 120 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 047 | non | oui | non | oui | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 2 824 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
177 → 1 + 7 + 7 = 15 2 120 → 2 + 1 + 2 + 0 = 5 7 047 → 7 + 0 + 4 + 7 = 18
545 → 5 + 4 + 5 = 14 2 824 → 2 + 8 + 2 + 4 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 5 + 7 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 570.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 504, somme des chiffres 9.
« 8 est un diviseur de 96. » Vrai. 96 = 8 × 12 : le reste de la division de 96 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 68 − 5 × 3 = 68 − 15 = 53
B = 8 × 7 − 5 × 3 = 56 − 15 = 41
C = (12 + 10) × 2 − 10 = 22 × 2 − 10 = 44 − 10 = 34
D = 5 × [33 − (3 + 2)] = 5 × [33 − 5] = 5 × 28 = 140
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + 9 × (5 − 4) = 6 + 9 × 1 = 6 + 9 = 15
4 + 9 × (6 + 2) = 4 + 9 × 8 = 4 + 72 = 76
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
F = 4,5 × 0,8 + 4,5 × 0,2 = 4,5 × (0,8 + 0,2) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 23 + 3,45 + 77 = 23 + 77 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 = 3²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 3 × 5² = 15² » Faux. 3 × 5² = 3 × 25 = 75, alors que 15² = 225. Le carré ne porte que sur 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
138 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 138 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 1 = 5 × 16 − 1 = 80 − 1 = 79
B = (5 × 4)² − 1 = 20² − 1 = 400 − 1 = 399
C = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
D = (5 + 1)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 6 = 4 × 4² − 6 = 4 × 16 − 6 = 64 − 6 = 58
B = (4a)² − 6 = (4 × 4)² − 6 = 16² − 6 = 256 − 6 = 250
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 73. » → encore 71 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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