Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 8² − 11 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 8 et 11.
D = (5 + 2)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 2.
E = (12 + 9) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 9 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 132 = 924 ≤ 930 < 931 = 7 × 133 : le quotient est 132, le reste 930 − 924 = 6.
930 = 7 × 132 + 6, avec 6 < 7.
12 × 75 = 900 ≤ 911 < 912 = 12 × 76 : le quotient est 75, le reste 911 − 900 = 11.
911 = 12 × 75 + 11, avec 11 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 239 = 6 × 39 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 239 = 6 × 38 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 239 = 6 × 40 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 39, reste 5.
Comme 5 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 239 par 39 : quotient 6, reste 5.
3. 52 = 3 × 17 + 1, avec 1 < 3
a) Chaque joueur reçoit 17 cartes.
b) La pioche contient 1 carte.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 3 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 310 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 4 113 | non | oui | non | oui | non |
| 6 176 | oui | non | non | non | non |
| 771 | non | oui | non | non | non |
| 235 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
5 310 → 5 + 3 + 1 + 0 = 9 4 113 → 4 + 1 + 1 + 3 = 9 6 176 → 6 + 1 + 7 + 6 = 20
771 → 7 + 7 + 1 = 15 235 → 2 + 3 + 5 = 10
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 1 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 801, 831, 861, 891.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 88. » Faux. 88 = 5 × 17 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 55 − 2 + 6 = 53 + 6 = 59
B = 5 + 21 ÷ 3 × 2 = 5 + 7 × 2 = 5 + 14 = 19
C = (7 × 8 − 6) ÷ 5 = (56 − 6) ÷ 5 = 50 ÷ 5 = 10
D = [7 + 3 × (10 − 5)] ÷ 2 = [7 + 3 × 5] ÷ 2 = [7 + 15] ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (9 + 2 − 8) = 7 × (11 − 8) = 7 × 3 = 21
6 + (7 + 7) × 2 = 6 + 14 × 2 = 6 + 28 = 34
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 11 = 41 × (10 + 1) = 41 × 10 + 41 × 1 = 410 + 41 = 451
F = 2 × 52 × 5 = 2 × 5 × 52 = 10 × 52 = 520
G = 29 × 78 + 29 × 22 = 29 × (78 + 22) = 29 × 100 = 2 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 125 = 5³ : cube
130 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 130 < 144 = 12²) 148 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 148 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 1 = 5 × 25 − 1 = 125 − 1 = 124
B = (5 × 5)² − 1 = 25² − 1 = 625 − 1 = 624
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 5 = 5 × 5² − 5 = 5 × 25 − 5 = 125 − 5 = 120
B = (5a)² − 5 = (5 × 5)² − 5 = 25² − 5 = 625 − 5 = 620
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
5 × 4 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 50 et 100. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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