Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
B = (6 + 5)² = 11² = 121
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 11 + 8 × 3 est une somme : c'est la somme de 11 et du produit de 8 par 3.
D = (1 + 6)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 6.
E = 26 − 6 × 2 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 6 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 122 = 732 ≤ 734 < 738 = 6 × 123 : le quotient est 122, le reste 734 − 732 = 2.
734 = 6 × 122 + 2, avec 2 < 6.
25 × 90 = 2 250 ≤ 2 269 < 2 275 = 25 × 91 : le quotient est 90, le reste 2 269 − 2 250 = 19.
2 269 = 25 × 90 + 19, avec 19 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 201 = 9 × 23 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 201 = 9 × 22 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 201 = 9 × 21 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 22, reste 3.
Comme 3 < 22 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 201 par 22 : quotient 9, reste 3.
3. 225 = 7 × 32 + 1
a) 225 jours font 32 semaines complètes et 1 jour.
Après 32 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 1 jour : mardi → mercredi.
b) Dans 225 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 8 020 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 357 | non | oui | non | oui | non |
| 3 404 | oui | non | non | non | non |
| 775 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 8 020 → 8 + 0 + 2 + 0 = 10 3 357 → 3 + 3 + 5 + 7 = 18
3 404 → 3 + 4 + 0 + 4 = 11 775 → 7 + 7 + 5 = 19
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 5 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 525, 555, 585.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 96 est divisible par 3 (96 = 3 × 32) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 15, n'est pas dans la table de 9).
« 109 est un multiple de 8. » Faux. 109 = 8 × 13 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 72 − 6 × 6 = 72 − 36 = 36
B = 72 ÷ 8 × 4 = 9 × 4 = 36
C = (8 × 8 − 4) ÷ 2 = (64 − 4) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30
D = [8 + 9 × (8 − 2)] ÷ 5 = [8 + 9 × 6] ÷ 5 = [8 + 54] ÷ 5 = 62 ÷ 5 = 12,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 × 7 + 3) × 2 = (35 + 3) × 2 = 38 × 2 = 76
8 + 3 − (2 − 2) = 8 + 3 − 0 = 11 − 0 = 11
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 2 × 45 × 50 = 2 × 50 × 45 = 100 × 45 = 4 500
G = 42 × 11 = 42 × (10 + 1) = 42 × 10 + 42 × 1 = 420 + 42 = 462
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 2 × 2 × 2 = 2³ 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 19 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 19 < 25 = 5²)
25 = 5² : carré 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
100 = 10² : carré 128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 1 = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4x)² − 1 = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 46 :
6² = 36 ≤ 46 et 7² = 49 > 46.
a) Elle mettra 6 dalles sur chaque côté.
46 − 36 = 10
b) Il lui restera 10 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 249 et 315. » → encore 65 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.