Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 7) × 2 = 17 × 2 = 34
B = 10 + 7 × 2 = 10 + 14 = 24
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 25 − 6 × 3 est une différence : c'est la différence entre 25 et le produit de 6 par 3.
D = 7 + 14 ÷ 7 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 14 par 7.
E = 3 × (16 − 9) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 16 et 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 133 = 399 ≤ 400 < 402 = 3 × 134 : le quotient est 133, le reste 400 − 399 = 1.
400 = 3 × 133 + 1, avec 1 < 3.
26 × 33 = 858 ≤ 866 < 884 = 26 × 34 : le quotient est 33, le reste 866 − 858 = 8.
866 = 26 × 33 + 8, avec 8 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 410 = 13 × 31 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 13. ✔
(b) 410 = 13 × 32 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 410 = 13 × 30 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 7.
Comme 7 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 410 par 31 : quotient 13, reste 7.
3. 50 = 6 × 8 + 2, avec 2 < 6
a) Elle remplit 8 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 230 | oui | oui | oui | non | oui |
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 835 | non | non | oui | non | non |
| 6 201 | non | oui | non | oui | non |
| 1 192 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 230 → 1 + 2 + 3 + 0 = 6 921 → 9 + 2 + 1 = 12 835 → 8 + 3 + 5 = 16
6 201 → 6 + 2 + 0 + 1 = 9 1 192 → 1 + 1 + 9 + 2 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 8 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9
Une seule solution : 180.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 6 est un diviseur de 150. » Vrai. 150 = 6 × 25 : le reste de la division de 150 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 8 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20
B = 2 × 6 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2
C = (6 × 6 − 5) ÷ 5 = (36 − 5) ÷ 5 = 31 ÷ 5 = 6,2
D = [5 + 6 × (11 − 2)] ÷ 5 = [5 + 6 × 9] ÷ 5 = [5 + 54] ÷ 5 = 59 ÷ 5 = 11,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 4 − (6 + 4) = 7 + 4 − 10 = 11 − 10 = 1
4 × (5 × 6 + 7) = 4 × (30 + 7) = 4 × 37 = 148
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 57 + 3,45 + 43 = 57 + 43 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 15 × 11 = 15 × (10 + 1) = 15 × 10 + 15 × 1 = 150 + 15 = 165
G = 26 × 36 + 26 × 64 = 26 × (36 + 64) = 26 × 100 = 2 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 = 6² 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 × 5 = 5³
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 5 = 4 × 36 − 5 = 144 − 5 = 139
B = (4 × 6)² − 5 = 24² − 5 = 576 − 5 = 571
C = 2² + 6² = 4 + 36 = 40
D = (2 + 6)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 4 : x³ + 8 = 4³ + 8 = 64 + 8 = 72
Pour x = 10 : x³ + 8 = 10³ + 8 = 1 000 + 8 = 1 008
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
4 × 2 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 136 et 177. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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