Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
B = (6 + 2)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 5² − 9 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 5 et 9.
D = 3² + 2² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 2.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 105 = 525 ≤ 528 < 530 = 5 × 106 : le quotient est 105, le reste 528 − 525 = 3.
528 = 5 × 105 + 3, avec 3 < 5.
24 × 67 = 1 608 ≤ 1 628 < 1 632 = 24 × 68 : le quotient est 67, le reste 1 628 − 1 608 = 20.
1 628 = 24 × 67 + 20, avec 20 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 284 = 13 × 22 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 284 = 13 × 21 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 284 = 13 × 20 + 24 : le « reste » 24 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 21, reste 11.
Comme 11 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 284 par 21 : quotient 13, reste 11.
3. 108 = 8 × 13 + 4, avec 4 < 8
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 8 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 970 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 386 | oui | non | non | non | non |
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 5 319 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
7 970 → 7 + 9 + 7 + 0 = 23 6 386 → 6 + 3 + 8 + 6 = 23 355 → 3 + 5 + 5 = 13
921 → 9 + 2 + 1 = 12 5 319 → 5 + 3 + 1 + 9 = 18
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 2 = 3 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 3 : 6 ; □ = 6 : 9 ; □ = 9 : 12
4 solutions : 102, 132, 162, 192.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 10 est pair mais 10 = 3 × 3 + 1.
« 78 est un multiple de 3. » Vrai. 78 = 3 × 26 : le reste de la division de 78 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 19 + 7 × 2 = 19 + 14 = 33
B = 8 × 7 − 2 × 3 = 56 − 6 = 50
C = (9 × 8 − 6) ÷ 5 = (72 − 6) ÷ 5 = 66 ÷ 5 = 13,2
D = 5 × [26 − (8 + 6)] = 5 × [26 − 14] = 5 × 12 = 60
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 4) × 3 − 6 = 10 × 3 − 6 = 30 − 6 = 24
2 × (8 + 3) × 7 = 2 × 11 × 7 = 22 × 7 = 154
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 34 × 9 = 34 × (10 − 1) = 34 × 10 − 34 × 1 = 340 − 34 = 306
F = 22 × 47 + 22 × 53 = 22 × (47 + 53) = 22 × 100 = 2 200
G = 8 × 37 × 125 = 8 × 125 × 37 = 1 000 × 37 = 37 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 9 × 9 = 9²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
36 = 6² : carré 66 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 66 < 81 = 9²)
76 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 76 < 81 = 9²) 119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 9 = 3 × 4 − 9 = 12 − 9 = 3
B = (3 × 2)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
C = 6² + 4² = 36 + 16 = 52
D = (6 + 4)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 7 : n² + 20 = 7² + 20 = 49 + 20 = 69 et 9n = 9 × 7 = 63.
69 ≠ 63 : l'égalité est fausse pour n = 7.
Pour n = 5 : n² + 20 = 5² + 20 = 25 + 20 = 45 et 9n = 9 × 5 = 45.
45 = 45 : l'égalité est vraie pour n = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 5 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 71 et 121. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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