Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (15 − 4) × 3 = 11 × 3 = 33
B = 15 − 4 × 3 = 15 − 12 = 3
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 5 × 4² − 10 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 4 et 10.
E = 4 × (11 − 3) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 11 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 109 = 981 ≤ 982 < 990 = 9 × 110 : le quotient est 109, le reste 982 − 981 = 1.
982 = 9 × 109 + 1, avec 1 < 9.
21 × 26 = 546 ≤ 547 < 567 = 21 × 27 : le quotient est 26, le reste 547 − 546 = 1.
547 = 21 × 26 + 1, avec 1 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 188 = 8 × 22 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 188 = 8 × 24 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 188 = 8 × 23 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 23, reste 4.
Comme 4 < 23 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 188 par 23 : quotient 8, reste 4.
3. 100 = 6 × 16 + 4, avec 4 < 6
a) Elle remplit 16 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 153 | non | oui | non | oui | non |
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 125 | non | non | oui | non | non |
| 8 612 | oui | non | non | non | non |
| 8 120 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
9 153 → 9 + 1 + 5 + 3 = 18 321 → 3 + 2 + 1 = 6 125 → 1 + 2 + 5 = 8
8 612 → 8 + 6 + 1 + 2 = 17 8 120 → 8 + 1 + 2 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 4 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 684.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 7 est un diviseur de 207. » Faux. 207 = 7 × 29 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 59 − 5 × 5 = 59 − 25 = 34
B = 7 × 2 − 2 × 4 = 14 − 8 = 6
C = (10 + 9) × 4 − 4 = 19 × 4 − 4 = 76 − 4 = 72
D = [2 + 6 × (7 − 1)] ÷ 5 = [2 + 6 × 6] ÷ 5 = [2 + 36] ÷ 5 = 38 ÷ 5 = 7,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 2) × 7 − 4 = 4 × 7 − 4 = 28 − 4 = 24
8 + 8 − (7 + 8) = 8 + 8 − 15 = 16 − 15 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 47 × 101 = 47 × (100 + 1) = 47 × 100 + 47 × 1 = 4 700 + 47 = 4 747
F = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 2 × 73 × 5 = 2 × 5 × 73 = 10 × 73 = 730
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
22 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 22 < 25 = 5²) 27 = 3³ : cube
49 = 7² : carré 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
95 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 95 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 9 = 4 × 36 − 9 = 144 − 9 = 135
B = (4 × 6)² − 9 = 24² − 9 = 576 − 9 = 567
C = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
D = (5 + 6)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 7 = 4 × 3² − 7 = 4 × 9 − 7 = 36 − 7 = 29
B = (4x)² − 7 = (4 × 3)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 39. » → encore 37 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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