Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 6 × 4 = 14 + 24 = 38
B = (14 + 6) × 4 = 20 × 4 = 80
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 2² − 8 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 2 et 8.
D = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
E = 8² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 61 = 427 ≤ 431 < 434 = 7 × 62 : le quotient est 61, le reste 431 − 427 = 4.
431 = 7 × 61 + 4, avec 4 < 7.
13 × 45 = 585 ≤ 588 < 598 = 13 × 46 : le quotient est 45, le reste 588 − 585 = 3.
588 = 13 × 45 + 3, avec 3 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 458 = 12 × 38 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 12. ✔
(b) 458 = 12 × 39 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 458 = 12 × 37 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 38, reste 2.
Comme 2 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 458 par 38 : quotient 12, reste 2.
3. 33 = 7 × 4 + 5
a) 33 jours font 4 semaines complètes et 5 jours.
Après 4 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 5 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 33 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 849 | non | oui | non | oui | non |
| 8 180 | oui | non | oui | non | oui |
| 805 | non | non | oui | non | non |
| 1 774 | oui | non | non | non | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 849 → 6 + 8 + 4 + 9 = 27 8 180 → 8 + 1 + 8 + 0 = 17 805 → 8 + 0 + 5 = 13
1 774 → 1 + 7 + 7 + 4 = 19 561 → 5 + 6 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 0 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 900, 930, 960, 990.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 79 est un multiple de 4. » Faux. 79 = 4 × 19 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 6 × 3 = 22 + 18 = 40
B = 8 × 2 − 2 × 3 = 16 − 6 = 10
C = (6 + 11) × 2 − 15 = 17 × 2 − 15 = 34 − 15 = 19
D = 4,4 + 3 × 1,2 = 4,4 + 3,6 = 8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 × 6 − 8) × 2 = (24 − 8) × 2 = 16 × 2 = 32
(8 + 9) × 9 + 4 = 17 × 9 + 4 = 153 + 4 = 157
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 × 99 = 15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485
F = 2 × 50 × 50 = 2 × 50 × 50 = 100 × 50 = 5 000
G = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 7 × 7 = 7² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« (2 + 4)² = 2² + 4² » Faux. (2 + 4)² = 6² = 36, alors que 2² + 4² = 4 + 16 = 20.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
22 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 22 < 25 = 5²) 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
81 = 9² : carré 100 = 10² : carré
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 4 = 3 × 36 − 4 = 108 − 4 = 104
B = (3 × 6)² − 4 = 18² − 4 = 324 − 4 = 320
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : 4n² = 4 × 4² = 4 × 16 = 64
Pour n = 10 : 4n² = 4 × 10² = 4 × 100 = 400
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 168 :
12² = 144 ≤ 168 et 13² = 169 > 168.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
168 − 144 = 24
b) Il lui restera 24 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 47. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 9, 25.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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