Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 1)² = 7² = 49
B = 6² + 1² = 36 + 1 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 + 4 × 2 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 4 par 2.
D = (6 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 7.
E = (8 + 7) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 7 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 23 = 207 ≤ 208 < 216 = 9 × 24 : le quotient est 23, le reste 208 − 207 = 1.
208 = 9 × 23 + 1, avec 1 < 9.
15 × 163 = 2 445 ≤ 2 457 < 2 460 = 15 × 164 : le quotient est 163, le reste 2 457 − 2 445 = 12.
2 457 = 15 × 163 + 12, avec 12 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 94 = 8 × 10 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 94 = 8 × 12 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 94 = 8 × 11 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 11, reste 6.
Comme 6 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 94 par 11 : quotient 8, reste 6.
3. 85 = 16 × 5 + 5
5 minibus pleins transportent 80 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 5 = 11 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 104 | oui | non | non | non | non |
| 2 061 | non | oui | non | oui | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 6 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 381 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 104 → 3 + 1 + 0 + 4 = 8 2 061 → 2 + 0 + 6 + 1 = 9 265 → 2 + 6 + 5 = 13
6 610 → 6 + 6 + 1 + 0 = 13 381 → 3 + 8 + 1 = 12
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 4 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 684.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 6 est un diviseur de 88. » Faux. 88 = 6 × 14 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 8 × 3 = 6 + 24 = 30
B = 7 × 8 − 2 × 2 = 56 − 4 = 52
C = 85 − 5 × (11 − 5) = 85 − 5 × 6 = 85 − 30 = 55
D = 3 × [37 − (3 + 3)] = 3 × [37 − 6] = 3 × 31 = 93
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + (6 + 8) × 9 = 3 + 14 × 9 = 3 + 126 = 129
9 × (8 + 7 − 4) = 9 × (15 − 4) = 9 × 11 = 99
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 19 × 50 = 2 × 50 × 19 = 100 × 19 = 1 900
F = 2,7 × 0,8 + 2,7 × 0,2 = 2,7 × (0,8 + 0,2) = 2,7 × 1 = 2,7
G = 35 × 9 = 35 × (10 − 1) = 35 × 10 − 35 × 1 = 350 − 35 = 315
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 0,7 × 0,7 = 0,7² 3 × 3 × 3 = 3³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 125 = 5³ : cube
137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 4 = 2 × 4 − 4 = 8 − 4 = 4
B = (2 × 2)² − 4 = 4² − 4 = 16 − 4 = 12
C = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
D = (3 + 5)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 7 = 3 × 2² − 7 = 3 × 4 − 7 = 12 − 7 = 5
B = (3x)² − 7 = (3 × 2)² − 7 = 6² − 7 = 36 − 7 = 29
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 253 et 318. » → encore 64 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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