Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 + 4 × 4 = 11 + 16 = 27
B = (11 + 4) × 4 = 15 × 4 = 60
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (10 − 8) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 10 et 8.
D = 14 + 3 × 9 est une somme : c'est la somme de 14 et du produit de 3 par 9.
E = 38 − 4 × 5 est une différence : c'est la différence entre 38 et le produit de 4 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 46 = 276 ≤ 277 < 282 = 6 × 47 : le quotient est 46, le reste 277 − 276 = 1.
277 = 6 × 46 + 1, avec 1 < 6.
21 × 49 = 1 029 ≤ 1 034 < 1 050 = 21 × 50 : le quotient est 49, le reste 1 034 − 1 029 = 5.
1 034 = 21 × 49 + 5, avec 5 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 381 = 12 × 32 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 381 = 12 × 30 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 381 = 12 × 31 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 31, reste 9.
Comme 9 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 381 par 31 : quotient 12, reste 9.
3. 56 = 16 × 3 + 8
3 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 8 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 8 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 9 801 | non | oui | non | oui | non |
| 561 | non | oui | non | non | non |
| 7 522 | oui | non | non | non | non |
| 9 390 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
625 → 6 + 2 + 5 = 13 9 801 → 9 + 8 + 0 + 1 = 18 561 → 5 + 6 + 1 = 12
7 522 → 7 + 5 + 2 + 2 = 16 9 390 → 9 + 3 + 9 + 0 = 21
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 1 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 6 ; □ = 5 : 9 ; □ = 8 : 12
3 solutions : 321, 351, 381.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 86 est pair mais 86 = 3 × 28 + 2.
« 7 est un diviseur de 169. » Faux. 169 = 7 × 24 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 49 − 12 + 7 = 37 + 7 = 44
B = 8 × 5 − 3 × 4 = 40 − 12 = 28
C = (8 × 4 − 1) ÷ 5 = (32 − 1) ÷ 5 = 31 ÷ 5 = 6,2
D = [8 + 3 × (11 − 2)] ÷ 2 = [8 + 3 × 9] ÷ 2 = [8 + 27] ÷ 2 = 35 ÷ 2 = 17,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × 7 − (6 − 3) = 3 × 7 − 3 = 21 − 3 = 18
8 × (3 + 2 × 8) = 8 × (3 + 16) = 8 × 19 = 152
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 9 = 45 × (10 − 1) = 45 × 10 − 45 × 1 = 450 − 45 = 405
F = 26 + 12,6 + 74 = 26 + 74 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 6 × 6 × 6 = 6³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 24 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 24 < 25 = 5²)
36 = 6² : carré 104 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 104 < 121 = 11²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 7 = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2x)² − 7 = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 91 et 137. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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