Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 18 − 2 × 4 = 18 − 8 = 10
B = (18 − 2) × 4 = 16 × 4 = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 × (12 − 9) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 12 et 9.
D = 5² − 22 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 22.
E = (27 + 29) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 27 et 29 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 126 = 378 ≤ 379 < 381 = 3 × 127 : le quotient est 126, le reste 379 − 378 = 1.
379 = 3 × 126 + 1, avec 1 < 3.
16 × 64 = 1 024 ≤ 1 035 < 1 040 = 16 × 65 : le quotient est 64, le reste 1 035 − 1 024 = 11.
1 035 = 16 × 64 + 11, avec 11 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 175 = 9 × 18 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 175 = 9 × 19 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 175 = 9 × 20 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 4.
Comme 4 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 19 : quotient 9, reste 4.
3. 143 = 12 × 11 + 11
En 11 soirs, elle lit 132 pages ; il lui en reste encore 11.
a) Il lui faut 11 + 1 = 12 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 11 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 201 | non | oui | non | oui | non |
| 8 134 | oui | non | non | non | non |
| 235 | non | non | oui | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 3 810 | oui | oui | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 201 → 6 + 2 + 0 + 1 = 9 8 134 → 8 + 1 + 3 + 4 = 16 235 → 2 + 3 + 5 = 10
327 → 3 + 2 + 7 = 12 3 810 → 3 + 8 + 1 + 0 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 0 + □ = 2 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 6
Une seule solution : 204.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 64 est pair mais 64 = 3 × 21 + 1.
« 194 est un multiple de 7. » Faux. 194 = 7 × 27 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 54 − 12 + 5 = 42 + 5 = 47
B = 6 × 6 − 4 × 6 = 36 − 24 = 12
C = (4 × 5 − 1) ÷ 4 = (20 − 1) ÷ 4 = 19 ÷ 4 = 4,75
D = 3 × [39 − (8 + 6)] = 3 × [39 − 14] = 3 × 25 = 75
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (7 + 9 − 6) = 9 × (16 − 6) = 9 × 10 = 90
2 + 8 − (3 + 6) = 2 + 8 − 9 = 10 − 9 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 69 − 41 × 59 = 41 × (69 − 59) = 41 × 10 = 410
F = 4 × 47 × 25 = 4 × 25 × 47 = 100 × 47 = 4 700
G = 39 × 9 = 39 × (10 − 1) = 39 × 10 − 39 × 1 = 390 − 39 = 351
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 9 = 2 × 9 − 9 = 18 − 9 = 9
B = (2 × 3)² − 9 = 6² − 9 = 36 − 9 = 27
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : 8n² = 8 × 6² = 8 × 36 = 288
Pour n = 10 : 8n² = 8 × 10² = 8 × 100 = 800
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 7 petits cubes sur 7 : 7² = 7 × 7 = 49.
a) On voit 49 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 7 couches de 49 petits cubes : 7³ = 7 × 7 × 7 = 343.
b) Il a utilisé 343 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 7 − 2 = 5 petits cubes d'arête. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
c) 125 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 41. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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