Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 10 − 2 × 4 = 10 − 8 = 2
B = (10 − 2) × 4 = 8 × 4 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × (16 − 12) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 16 et 12.
D = 7 + 45 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 45 par 5.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 63 = 315 ≤ 317 < 320 = 5 × 64 : le quotient est 63, le reste 317 − 315 = 2.
317 = 5 × 63 + 2, avec 2 < 5.
26 × 21 = 546 ≤ 561 < 572 = 26 × 22 : le quotient est 21, le reste 561 − 546 = 15.
561 = 26 × 21 + 15, avec 15 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 79 = 7 × 10 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 79 = 7 × 11 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 79 = 7 × 12 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 2.
Comme 2 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 79 par 11 : quotient 7, reste 2.
3. 43 = 8 × 5 + 3
5 minibus pleins transportent 40 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 5 + 1 = 6 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 3 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 411 | non | oui | non | non | non |
| 545 | non | non | oui | non | non |
| 3 976 | oui | non | non | non | non |
| 4 260 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 339 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
411 → 4 + 1 + 1 = 6 545 → 5 + 4 + 5 = 14 3 976 → 3 + 9 + 7 + 6 = 25
4 260 → 4 + 2 + 6 + 0 = 12 3 339 → 3 + 3 + 3 + 9 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 1 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 6 ; □ = 4 : 9 ; □ = 7 : 12
3 solutions : 411, 441, 471.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 42 est divisible par 3 (42 = 3 × 14) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 178 est un multiple de 9. » Faux. 178 = 9 × 19 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 28 − 13 + 5 = 15 + 5 = 20
B = 11 + 42 ÷ 6 × 4 = 11 + 7 × 4 = 11 + 28 = 39
C = 90 − 4 × (10 − 7) = 90 − 4 × 3 = 90 − 12 = 78
D = [7 + 4 × (8 − 1)] ÷ 5 = [7 + 4 × 7] ÷ 5 = [7 + 28] ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 4) × 3 − 9 = 6 × 3 − 9 = 18 − 9 = 9
(8 + 7 + 6) × 2 = (15 + 6) × 2 = 21 × 2 = 42
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 28 + 7,8 + 72 = 28 + 72 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 44 × 101 = 44 × (100 + 1) = 44 × 100 + 44 × 1 = 4 400 + 44 = 4 444
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 12 × 12 = 12² 4 × 4 × 4 = 4³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (1 + 2)² = 1² + 2² » Faux. (1 + 2)² = 3² = 9, alors que 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²) 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 125 = 5³ : cube
142 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 142 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 7 = 2 × 36 − 7 = 72 − 7 = 65
B = (2 × 6)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : n² + 7n = 6² + 7 × 6 = 36 + 7 × 6 = 36 + 42 = 78
Pour n = 10 : n² + 7n = 10² + 7 × 10 = 100 + 7 × 10 = 100 + 70 = 170
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 8 et 65. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16, 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 16, 36, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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