Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (9 + 18) ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9
B = 9 + 18 ÷ 3 = 9 + 6 = 15
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
D = 5 × 7² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 7 et 15.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 84 = 756 ≤ 759 < 765 = 9 × 85 : le quotient est 84, le reste 759 − 756 = 3.
759 = 9 × 84 + 3, avec 3 < 9.
16 × 85 = 1 360 ≤ 1 372 < 1 376 = 16 × 86 : le quotient est 85, le reste 1 372 − 1 360 = 12.
1 372 = 16 × 85 + 12, avec 12 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 110 = 8 × 13 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 110 = 8 × 14 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 110 = 8 × 12 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 13, reste 6.
Comme 6 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 110 par 13 : quotient 8, reste 6.
3. 68 = 7 × 9 + 5
a) 68 jours font 9 semaines complètes et 5 jours.
Après 9 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 5 jours : dimanche → lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi.
b) Dans 68 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 685 | non | non | oui | non | non |
| 9 196 | oui | non | non | non | non |
| 1 820 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 137 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
141 → 1 + 4 + 1 = 6 685 → 6 + 8 + 5 = 19 9 196 → 9 + 1 + 9 + 6 = 25
1 820 → 1 + 8 + 2 + 0 = 11 7 137 → 7 + 1 + 3 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 3 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 423.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 324, somme des chiffres 9.
« 72 est un multiple de 4. » Vrai. 72 = 4 × 18 : le reste de la division de 72 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 8 × 5 = 18 + 40 = 58
B = 7 × 8 − 3 × 6 = 56 − 18 = 38
C = (7 × 9 − 3) ÷ 5 = (63 − 3) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12
D = [7 + 8 × (7 − 4)] ÷ 2 = [7 + 8 × 3] ÷ 2 = [7 + 24] ÷ 2 = 31 ÷ 2 = 15,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 4 − (5 − 4) = 5 + 4 − 1 = 9 − 1 = 8
9 × (6 − 3) × 6 = 9 × 3 × 6 = 27 × 6 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
F = 5 × 54 × 20 = 5 × 20 × 54 = 100 × 54 = 5 400
G = 47 × 11 = 47 × (10 + 1) = 47 × 10 + 47 × 1 = 470 + 47 = 517
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 2 × 2 × 2 = 2³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 3 × 6² = 18² » Faux. 3 × 6² = 3 × 36 = 108, alors que 18² = 324. Le carré ne porte que sur 6.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²) 49 = 7² : carré
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 6 = 5 × 36 − 6 = 180 − 6 = 174
B = (5 × 6)² − 6 = 30² − 6 = 900 − 6 = 894
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 8 = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3a)² − 8 = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 77 :
8² = 64 ≤ 77 et 9² = 81 > 77.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
77 − 64 = 13
b) Il lui restera 13 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 34 et 60. » → encore 25 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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