Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 24 + 54 ÷ 6 = 24 + 9 = 33
B = (24 + 54) ÷ 6 = 78 ÷ 6 = 13
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 5.
D = (6 + 4)² est un carré : c'est le carré de la somme de 6 et 4.
E = 4 × 4² − 6 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 4 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 125 = 500 ≤ 501 < 504 = 4 × 126 : le quotient est 125, le reste 501 − 500 = 1.
501 = 4 × 125 + 1, avec 1 < 4.
21 × 49 = 1 029 ≤ 1 035 < 1 050 = 21 × 50 : le quotient est 49, le reste 1 035 − 1 029 = 6.
1 035 = 21 × 49 + 6, avec 6 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 505 = 15 × 34 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 505 = 15 × 33 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
(c) 505 = 15 × 32 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 33, reste 10.
Comme 10 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 505 par 33 : quotient 15, reste 10.
3. 68 = 8 × 8 + 4
8 minibus pleins transportent 64 élèves ; il en reste 4 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 4 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 703 | non | oui | non | oui | non |
| 8 408 | oui | non | non | non | non |
| 7 450 | oui | non | oui | non | oui |
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 245 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 703 → 8 + 7 + 0 + 3 = 18 8 408 → 8 + 4 + 0 + 8 = 20 7 450 → 7 + 4 + 5 + 0 = 16
687 → 6 + 8 + 7 = 21 245 → 2 + 4 + 5 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 8 + □ = 15 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 15 ; □ = 6 : 21
2 solutions : 780, 786.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 30 est divisible par 3 (30 = 3 × 10) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 56 est un multiple de 4. » Vrai. 56 = 4 × 14 : le reste de la division de 56 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 30 + 2 × 5 = 30 + 10 = 40
B = 2 × 7 − 4 × 3 = 14 − 12 = 2
C = (9 × 6 − 4) ÷ 2 = (54 − 4) ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25
D = [2 + 7 × (11 − 5)] ÷ 2 = [2 + 7 × 6] ÷ 2 = [2 + 42] ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 7) × 3 − 4 = 11 × 3 − 4 = 33 − 4 = 29
8 × (5 + 2) − 8 = 8 × 7 − 8 = 56 − 8 = 48
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 68 + 0,75 + 32 = 68 + 32 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
F = 13 × 11 = 13 × (10 + 1) = 13 × 10 + 13 × 1 = 130 + 13 = 143
G = 39 × 72 + 39 × 28 = 39 × (72 + 28) = 39 × 100 = 3 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 6 × 6 = 6²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 4 × 6² = 24² » Faux. 4 × 6² = 4 × 36 = 144, alors que 24² = 576. Le carré ne porte que sur 6.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 48 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 48 < 49 = 7²)
68 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 68 < 81 = 9²) 73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 8 = 3 × 36 − 8 = 108 − 8 = 100
B = (3 × 6)² − 8 = 18² − 8 = 324 − 8 = 316
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : n² + 6n = 2² + 6 × 2 = 4 + 6 × 2 = 4 + 12 = 16
Pour n = 10 : n² + 6n = 10² + 6 × 10 = 100 + 6 × 10 = 100 + 60 = 160
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 76 et 125. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 100, 121.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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