Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 7.
D = (7 + 1) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 1 par 4.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 84 = 588 ≤ 594 < 595 = 7 × 85 : le quotient est 84, le reste 594 − 588 = 6.
594 = 7 × 84 + 6, avec 6 < 7.
25 × 64 = 1 600 ≤ 1 601 < 1 625 = 25 × 65 : le quotient est 64, le reste 1 601 − 1 600 = 1.
1 601 = 25 × 64 + 1, avec 1 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 276 = 9 × 29 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 276 = 9 × 31 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 276 = 9 × 30 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 30, reste 6.
Comme 6 < 30 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 276 par 30 : quotient 9, reste 6.
3. 53 = 8 × 6 + 5
6 minibus pleins transportent 48 élèves ; il en reste 5 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 5 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 335 | non | non | oui | non | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 3 760 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 244 | oui | non | non | non | non |
| 7 947 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
335 → 3 + 3 + 5 = 11 141 → 1 + 4 + 1 = 6 3 760 → 3 + 7 + 6 + 0 = 16
3 244 → 3 + 2 + 4 + 4 = 13 7 947 → 7 + 9 + 4 + 7 = 27
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 2 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 720, 726.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 117, somme des chiffres 9.
« 8 est un diviseur de 109. » Faux. 109 = 8 × 13 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 3 × 6 = 57 − 18 = 39
B = 35 ÷ 7 × 3 = 5 × 3 = 15
C = (9 × 5 − 6) ÷ 4 = (45 − 6) ÷ 4 = 39 ÷ 4 = 9,75
D = 8,3 + 2 × 1,2 = 8,3 + 2,4 = 10,7
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (4 + 6) + 6 = 3 × 10 + 6 = 30 + 6 = 36
7 + (7 + 8) × 2 = 7 + 15 × 2 = 7 + 30 = 37
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 66 × 25 = 4 × 25 × 66 = 100 × 66 = 6 600
F = 4,5 × 0,7 + 4,5 × 0,3 = 4,5 × (0,7 + 0,3) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 30 × 11 = 30 × (10 + 1) = 30 × 10 + 30 × 1 = 300 + 30 = 330
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 27 = 3³ : cube
50 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 50 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 8 = 3 × 9 − 8 = 27 − 8 = 19
B = (3 × 3)² − 8 = 9² − 8 = 81 − 8 = 73
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 4 = 5 × 4² − 4 = 5 × 16 − 4 = 80 − 4 = 76
B = (5x)² − 4 = (5 × 4)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 55 :
7² = 49 ≤ 55 et 8² = 64 > 55.
a) Elle mettra 7 dalles sur chaque côté.
55 − 49 = 6
b) Il lui restera 6 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 58. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 9, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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