Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
B = (4 + 3)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 3)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 3.
D = 4² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 5.
E = (4 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 4 et 6 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 41 = 287 ≤ 292 < 294 = 7 × 42 : le quotient est 41, le reste 292 − 287 = 5.
292 = 7 × 41 + 5, avec 5 < 7.
16 × 46 = 736 ≤ 739 < 752 = 16 × 47 : le quotient est 46, le reste 739 − 736 = 3.
739 = 16 × 46 + 3, avec 3 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 146 = 9 × 15 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 146 = 9 × 16 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 146 = 9 × 17 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 16, reste 2.
Comme 2 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 146 par 16 : quotient 9, reste 2.
3. 59 = 8 × 7 + 3
7 minibus pleins transportent 56 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 3 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 185 | non | non | oui | non | non |
| 9 830 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 239 | non | oui | non | oui | non |
| 9 248 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
807 → 8 + 0 + 7 = 15 185 → 1 + 8 + 5 = 14 9 830 → 9 + 8 + 3 + 0 = 20
4 239 → 4 + 2 + 3 + 9 = 18 9 248 → 9 + 2 + 4 + 8 = 23
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 9 + 7 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 21
Une seule solution : 975.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 630, somme des chiffres 9.
« 3 est un diviseur de 49. » Faux. 49 = 3 × 16 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 57 − 5 × 5 = 57 − 25 = 32
B = 8 × 2 − 3 × 3 = 16 − 9 = 7
C = (9 + 4) × 2 − 14 = 13 × 2 − 14 = 26 − 14 = 12
D = 3,4 + 2 × 0,5 = 3,4 + 1 = 4,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 6 + 6) × 4 = (8 + 6) × 4 = 14 × 4 = 56
8 × (4 + 6) − 3 = 8 × 10 − 3 = 80 − 3 = 77
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,7 + 12,5 × 0,3 = 12,5 × (0,7 + 0,3) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 71 + 12,6 + 29 = 71 + 29 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
G = 28 × 101 = 28 × (100 + 1) = 28 × 100 + 28 × 1 = 2 800 + 28 = 2 828
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 3 × 3 × 3 = 3³ 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 7 = 2 × 16 − 7 = 32 − 7 = 25
B = (2 × 4)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 2² + 1² = 4 + 1 = 5
D = (2 + 1)² = 3² = 9
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 10 = 6² + 10 = 36 + 10 = 46 et 7x = 7 × 6 = 42.
46 ≠ 42 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Pour x = 5 : x² + 10 = 5² + 10 = 25 + 10 = 35 et 7x = 7 × 5 = 35.
35 = 35 : l'égalité est vraie pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 2, et seulement pour 5 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 155 :
12² = 144 ≤ 155 et 13² = 169 > 155.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
155 − 144 = 11
b) Il lui restera 11 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 132 et 195. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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