Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
B = (2 × 3)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 17 − 2 × 2 est une différence : c'est la différence entre 17 et le produit de 2 par 2.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 107 = 856 ≤ 863 < 864 = 8 × 108 : le quotient est 107, le reste 863 − 856 = 7.
863 = 8 × 107 + 7, avec 7 < 8.
26 × 41 = 1 066 ≤ 1 088 < 1 092 = 26 × 42 : le quotient est 41, le reste 1 088 − 1 066 = 22.
1 088 = 26 × 41 + 22, avec 22 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 259 = 14 × 17 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 259 = 14 × 19 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 259 = 14 × 18 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 18, reste 7.
Comme 7 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 259 par 18 : quotient 14, reste 7.
3. 292 = 7 × 41 + 5
a) 292 jours font 41 semaines complètes et 5 jours.
Après 41 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 5 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 292 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 041 | non | oui | non | oui | non |
| 8 968 | oui | non | non | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 8 460 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 325 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
4 041 → 4 + 0 + 4 + 1 = 9 8 968 → 8 + 9 + 6 + 8 = 31 147 → 1 + 4 + 7 = 12
8 460 → 8 + 4 + 6 + 0 = 18 325 → 3 + 2 + 5 = 10
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 6 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 765.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 3 est un diviseur de 76. » Faux. 76 = 3 × 25 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 43 − 3 × 6 = 43 − 18 = 25
B = 7 × 4 − 6 × 3 = 28 − 18 = 10
C = 80 − 4 × (20 − 3) = 80 − 4 × 17 = 80 − 68 = 12
D = 3,6 + 4 × 1,2 = 3,6 + 4,8 = 8,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 2 − (5 + 2) = 9 + 2 − 7 = 11 − 7 = 4
9 × (9 + 5 + 3) = 9 × (14 + 3) = 9 × 17 = 153
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 13 × 53 + 13 × 47 = 13 × (53 + 47) = 13 × 100 = 1 300
F = 48 × 101 = 48 × (100 + 1) = 48 × 100 + 48 × 1 = 4 800 + 48 = 4 848
G = 5 × 82 × 20 = 5 × 20 × 82 = 100 × 82 = 8 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 1,5 × 1,5 = 1,5² 6 × 6 × 6 = 6³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 1 = 3 × 16 − 1 = 48 − 1 = 47
B = (3 × 4)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 5 = 5 × 2² − 5 = 5 × 4 − 5 = 20 − 5 = 15
B = (5a)² − 5 = (5 × 2)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 68 et 106. » → encore 37 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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