site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut beaucoup de talent pour faire rire avec des mots. Mais il faut du génie pour amuser avec des points de suspension...

Frédéric Dard

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314abcdeABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse du Vieux-Four⑧ chemin des VignesⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② boulevard du Parc⑨ rue VerteⒷ Place aux Herbesb la bibliothèque
③ rue des Jardins⑩ rue du MoulinⒸ Carrefour de la Mairiec le stade
④ rue Haute⑪ passage du MarchéⒹ Place du Vieux-Puitsd la pharmacie
⑤ venelle du Chat⑫ rue des ÉcolesⒺ Coin du Lavoire la salle des fêtes
⑥ allée des Tilleuls⑬ rue de l'ÉgliseⒻ Rond-point du Pont
⑦ chemin de Ronde⑭ rue PasteurⒼ Rond-point de la Poste
Ⓗ Carrefour du Lavoir
Ⓙ Place du Marché
Ⓚ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314abcdeABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues1262243422
Paritéimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 28 = 2 × 14, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 4 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Fontaine Notre-Dame (A), prend l'impasse du Vieux-Four ① vers le sud et atteint Carrefour de la Mairie (C).
  2. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ②, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ③, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (D).
  4. Il tourne à droite dans la rue Haute ④, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (C).
  5. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  6. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑧, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (E).
  7. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑨, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (K).
  8. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  10. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (C).
  11. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  12. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (J).
  14. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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