site2wouf.fr : La tournée du jour

La plupart des calomnies qui courent sur mon compte sont plus douces que ce que je dirais sur moi si l'on m'interrogeait.

Jean Yanne

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789abcdeABCDEFN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑥ rue de la PosteⒶ Coin du Lavoira la poste
② venelle du Chat⑦ avenue de la GareⒷ Rond-point de la Posteb la salle des fêtes
③ allée des Tilleuls⑧ chemin de RondeⒸ Rond-point du Stadec la boulangerie
④ boulevard du Parc⑨ rue BasseⒹ Rond-point du Pontd la gendarmerie
⑤ rue des JardinsⒺ Place de la Fontainee le gymnase
Ⓕ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789abcdeABCDEFN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEF
Nombre de rues244422
Paritépairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 × 9, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 5 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue des Jardins ⑤ vers le nord-est jusqu'à Rond-point de la Poste (B).
  2. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ①, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (A).
  3. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (B).
  5. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  6. Il prend dans la rue de la Poste ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  7. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (F).
  8. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  9. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (E).
  10. Il reprend alors la rue des Jardins ⑤, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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