site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910abcdeABCDEFGHN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑥ quai aux FleursⒶ Place de la Fontainea la poste
② rue du Stade⑦ allée des PeupliersⒷ Place du Marchéb le lavoir
③ impasse des Cerisiers⑧ rue NeuveⒸ Place Sainte-Croixc le marché couvert
④ rue des Écoles⑨ rue des LilasⒹ Carrefour du Moulind la gendarmerie
⑤ boulevard du Parc⑩ sentier des PrésⒺ Coin du Lavoire le stade
Ⓕ Rond-point du Stade
Ⓖ Rond-point de la Gare
Ⓗ Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910abcdeABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues21242432
Paritépairimpairpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 × 10, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 10 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, B et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de B à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de B :
  1. Il part de Place du Marché (B), prend l'impasse des Cerisiers ③ vers le sud-est et atteint Rond-point du Stade (F).
  2. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑤, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ②, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Verte ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
  5. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  6. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (H).
  7. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  8. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑧, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (E).
  9. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑦, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  10. Il prend dans la rue des Lilas ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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