Activité 128 - La tournée du facteur

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.

Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.

Les rues		Les carrefours	Les bâtiments
① rue des Lilas	⑦ rue du Pont	Ⓐ Rond-point du Stade	a la poste
② venelle du Chat	⑧ rue Basse	Ⓑ Place des Tanneurs	b le stade
③ passage du Marché	⑨ rue du Four	Ⓒ Carrefour du Lavoir	c le marché couvert
④ rue Verte	⑩ rue du Moulin	Ⓓ Place aux Herbes	d la gendarmerie
⑤ allée des Peupliers	⑪ rue des Écoles	Ⓔ Rond-point de la Poste	e la boulangerie
⑥ avenue de la Gare	⑫ chemin des Vignes	Ⓕ Carrefour du Moulin
		Ⓖ Carrefour Saint-Roch
		Ⓗ Carrefour des Tilleuls

Légende du plan

Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.

Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :

Carrefour	A	B	C	D	E	F	G	H
Nombre de rues	3	2	3	2	3	4	4	3
Parité	impair	pair	impair	pair	impair	pair	pair	impair

Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.

Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, C, E, H — il y en a 4.

Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.

Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».

Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 12 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.

Non. Le quartier compte 4 carrefours impairs (A, C, E, H).

Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.

Non plus. Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.

C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.

Combien de rues en double, au minimum ? Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.

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🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

Avant Hamilton : l’héritage d’Euler (1736) — les ponts de Königsberg, d’où vient le critère de parité utilisé ici
Euler contre Hamilton : du critère local au casse-tête global — pourquoi passer par toutes les rues est facile, alors que passer par tous les carrefours ne l’est pas du tout

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Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 plans de quartier.
- Quand une tournée existe, l'itinéraire est construit puis rejoué rue par rue : chacune doit être empruntée exactement une fois.

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