site2wouf.fr : La tournée du jour

La vie a besoin d'illusions, c'est-à-dire de non-vérités tenues pour des vérités.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910abcdABCDEFGHN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin de Ronde⑥ chemin des VignesⒶ Carrefour de la Mairiea la poste
② rue de la Mairie⑦ passage du MarchéⒷ Place du Marchéb l'école
③ rue du Moulin⑧ sentier des PrésⒸ Fontaine Notre-Damec le lavoir
④ rue du Stade⑨ allée des TilleulsⒹ Rond-point de la Gared la salle des fêtes
⑤ venelle du Chat⑩ allée des PeupliersⒺ Coin du Lavoir
Ⓕ Place de l'Église
Ⓖ Placette des Ormes
Ⓗ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910abcdABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues32252222
Paritéimpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 × 10, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 4 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (A), prend le chemin de Ronde ① vers l'est et atteint Place du Marché (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Stade ④, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (E).
  3. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  4. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (A).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ②, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  7. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (F).
  9. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑩, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (G).
  10. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).

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