site2wouf.fr : La tournée du jour

Une erreur originale vaut mieux qu'une vérité banale.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920abcdABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑪ allée des TilleulsⒶ Place du Marchéa la poste
② rue des Écoles⑫ chemin des VignesⒷ Rond-point de la Posteb le lavoir
③ chemin de Ronde⑬ rue BasseⒸ Coin du Lavoirc le stade
④ chemin Creux⑭ venelle du ChatⒹ Carrefour de l'Hôpitald l'église
⑤ rue du Four⑮ sentier des PrésⒺ Place Sainte-Croix
⑥ rue Haute⑯ rue de la MairieⒻ Rond-point du Pont
⑦ rue du Moulin⑰ rue des LilasⒼ Carrefour du Moulin
⑧ rue Pasteur⑱ allée des PeupliersⒽ Rond-point de la Gare
⑨ rue Neuve⑲ rue des JardinsⒿ Carrefour Saint-Roch
⑩ boulevard du Parc⑳ rue du PontⓀ Place du Vieux-Puits
Ⓛ Place des Tanneurs
Ⓜ Carrefour du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920abcdABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues242624435224
Paritépairpairpairpairpairpairpairimpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 40 = 2 × 20, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : H, J — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, H et J : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en B et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de H à J. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de H :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (H), prend la rue Neuve ⑨ vers le nord et atteint Carrefour de l'Hôpital (D).
  2. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ②, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue Verte ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (B).
  4. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (D).
  5. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  7. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (D).
  8. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (B).
  10. Il tourne à droite dans le chemin Creux ④, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (E).
  11. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  13. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  14. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑰, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  16. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑳, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  17. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  18. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (K).
  19. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  20. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).

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