site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① boulevard du Parc⑩ passage du MarchéⒶ Place des Tanneursa la poste
② rue des Écoles⑪ avenue de la GareⒷ Carrefour de la Mairieb la bibliothèque
③ rue des Lilas⑫ rue HauteⒸ Rond-point de la Postec le stade
④ rue Pasteur⑬ chemin CreuxⒹ Carrefour du Lavoird le gymnase
⑤ rue Neuve⑭ quai aux FleursⒺ Carrefour des Quatre-Chemins
⑥ allée des Tilleuls⑮ rue du PuitsⒻ Rond-point du Stade
⑦ chemin du Lavoir⑯ rue du FourⒼ Carrefour Saint-Roch
⑧ rue de l'Église⑰ rue du StadeⒽ Carrefour de l'Hôpital
⑨ venelle du ChatⒿ Place aux Herbes
Ⓚ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues2443436422
Paritépairpairpairimpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et F : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en H et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à F. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (D), prend la rue Pasteur ④ vers le nord-est et atteint Carrefour de la Mairie (B).
  2. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  4. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  8. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  9. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (D).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (G).
  12. Il continue tout droit dans la rue du Puits ⑮, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
  13. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  14. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑫, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (K).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
  16. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑯, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (J).
  17. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (F).

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