site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① boulevard du Parc⑩ avenue de la GareⒶ Coin du Lavoira la poste
② rue du Four⑪ rue des LilasⒷ Place des Tanneursb l'église
③ rue du Moulin⑫ rue HauteⒸ Rond-point de la Garec le stade
④ chemin de Ronde⑬ rue des JardinsⒹ Place de l'Églised la pharmacie
⑤ rue de l'Église⑭ rue du PuitsⒺ Carrefour du Moulin
⑥ chemin des Vignes⑮ rue NeuveⒻ Rond-point de la Poste
⑦ chemin Creux⑯ allée des PeupliersⒼ Fontaine Notre-Dame
⑧ passage du Marché⑰ rue PasteurⒽ Place aux Herbes
⑨ allée des TilleulsⒿ Carrefour du Lavoir
Ⓚ Placette des Ormes
Ⓛ Place du Vieux-Puits
Ⓜ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues224246224222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (E), prend le chemin de Ronde ④ vers le nord et atteint Place des Tanneurs (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ③, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (G).
  5. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  6. Il prend dans le chemin des Vignes ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Four ②, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (A).
  8. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ①, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (D).
  9. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  10. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (H).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑭, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  13. Il prend dans la rue des Jardins ⑬, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (K).
  14. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  15. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑯, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (L).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑰, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (M).
  17. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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