site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑩ rue du FourⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② chemin des Vignes⑪ rue du PontⒷ Place de l'Égliseb la pharmacie
③ rue Haute⑫ rue PasteurⒸ Rond-point de la Garec le marché couvert
④ passage du Marché⑬ quai aux FleursⒹ Carrefour des Quatre-Cheminsd la bibliothèque
⑤ rue de l'Église⑭ chemin du LavoirⒺ Rond-point des Vaches
⑥ avenue de la Gare⑮ rue des JardinsⒻ Rond-point du Stade
⑦ allée des Peupliers⑯ rue du MoulinⒼ Place Sainte-Croix
⑧ allée des Tilleuls⑰ rue des ÉcolesⒽ Carrefour du Moulin
⑨ rue Neuve⑱ rue des LilasⒿ Carrefour des Tilleuls
Ⓚ Placette des Ormes
Ⓛ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues22354426422
Paritépairpairimpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, D — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en J, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et D : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en J et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à D. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (C), prend la rue Verte ① vers le nord et atteint Place du Vieux-Puits (A).
  2. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ②, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  3. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  4. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (J).
  5. Il prend dans la rue Neuve ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  6. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑦, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  7. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ④, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église (B).
  8. Il prend dans la rue Haute ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  10. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑬, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑪, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (G).
  13. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  14. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑰, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (K).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑱, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (L).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  18. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).

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