site2wouf.fr : La tournée du jour

D'après une étude américaine, 20% des habitants de notre planète parle anglais. Oui, les 80% restant n'ont pas compris la question.

Jean Yanne

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑫ rue de la PosteⒶ Place de la Fontainea la poste
② sentier des Prés⑬ allée des TilleulsⒷ Place du Marchéb le lavoir
③ rue des Lilas⑭ rue du StadeⒸ Rond-point du Stadec la salle des fêtes
④ chemin de Ronde⑮ rue NeuveⒹ Place Sainte-Croixd la pharmacie
⑤ chemin Creux⑯ passage du MarchéⒺ Place de l'Église
⑥ rue du Four⑰ chemin du LavoirⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue des Jardins⑱ rue BasseⒼ Rond-point du Pont
⑧ chemin des Vignes⑲ boulevard du ParcⒽ Fontaine Notre-Dame
⑨ rue du Moulin⑳ rue PasteurⒿ Carrefour Saint-Roch
⑩ rue de la Mairie㉑ rue VerteⓀ Place des Tanneurs
⑪ rue du Pont㉒ rue HauteⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Carrefour des Quatre-Chemins
Ⓟ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues2262248242442
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en L, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (L), prend l'allée des Tilleuls ⑬ vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls (F).
  2. Il continue tout droit dans le chemin Creux ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  3. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ②, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  4. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ①, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ④, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (E).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑩, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  11. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑪, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (D).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (M).
  14. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑭, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (H).
  16. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑱, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (M).
  17. Il tourne à droite dans la rue Haute ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (P).
  18. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑰, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (G).
  19. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  20. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  21. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑲, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (K).
  22. Il tourne à gauche dans la rue Verte ㉑, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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