site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdeABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Mairie⑦ rue des JardinsⒶ Place de la Fontainea la poste
② rue Verte⑧ quai aux FleursⒷ Placette des Ormesb la salle des fêtes
③ rue du Puits⑨ chemin de RondeⒸ Rond-point du Stadec l'église
④ rue Basse⑩ allée des PeupliersⒹ Place du Vieux-Puitsd le cimetière
⑤ chemin du Lavoir⑪ rue PasteurⒺ Rond-point de la Postee le marché couvert
⑥ rue de l'Église⑫ chemin des VignesⒻ Fontaine Notre-Dame
Ⓖ Place aux Herbes
Ⓗ Place Sainte-Croix
Ⓙ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdeABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues224262222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 12 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte le chemin des Vignes ⑫ vers l'est jusqu'à Place Sainte-Croix (H).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  3. Il tourne à droite dans la rue Basse ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Puits ③, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (D).
  5. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑧, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  6. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  7. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ①, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
  8. Il tourne à droite dans la rue Verte ②, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (F).
  9. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑦, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (G).
  11. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  13. Il reprend alors le chemin des Vignes ⑫, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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