site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Mairie⑪ rue du MoulinⒶ Place du Marchéa la poste
② allée des Peupliers⑫ rue de la PosteⒷ Place aux Herbesb le cimetière
③ rue des Écoles⑬ rue NeuveⒸ Place Sainte-Croixc la pharmacie
④ boulevard du Parc⑭ chemin CreuxⒹ Rond-point des Vachesd l'école
⑤ rue du Four⑮ sentier des PrésⒺ Carrefour du Mouline la mairie
⑥ rue du Stade⑯ rue HauteⒻ Rond-point du Stade
⑦ rue des Lilas⑰ chemin du LavoirⒼ Carrefour du Lavoir
⑧ rue de l'Église⑱ venelle du ChatⒽ Rond-point de la Poste
⑨ rue des Jardins⑲ rue VerteⒿ Coin du Lavoir
⑩ avenue de la GareⓀ Carrefour de l'Hôpital
Ⓛ Place des Tanneurs
Ⓜ Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues222444642422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en K, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (K), prend la rue du Four ⑤ vers le nord et atteint Place Sainte-Croix (C).
  2. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ③, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  3. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  4. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  5. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ①, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (A).
  6. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  10. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  12. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  13. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  14. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑯, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (M).
  15. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  16. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
  17. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  18. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑭, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  19. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (K).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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