site2wouf.fr : La tournée du jour

J'ai un plan. Il manque les calculs.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse du Vieux-Four⑪ rue des JardinsⒶ Place du Marchéa la poste
② rue Haute⑫ rue du StadeⒷ Place de l'Égliseb le stade
③ chemin Creux⑬ chemin du LavoirⒸ Carrefour de l'Hôpitalc la gendarmerie
④ passage du Marché⑭ allée des PeupliersⒹ Rond-point de la Gared le lavoir
⑤ chemin de Ronde⑮ rue de la PosteⒺ Rond-point du Ponte l'école
⑥ rue Neuve⑯ sentier des PrésⒻ Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Four⑰ venelle du ChatⒼ Carrefour du Moulin
⑧ rue du Puits⑱ allée des TilleulsⒽ Carrefour des Tilleuls
⑨ quai aux Fleurs⑲ rue des ÉcolesⒿ Placette des Ormes
⑩ chemin des Vignes⑳ rue BasseⓀ Place du Vieux-Puits
Ⓛ Place Sainte-Croix
Ⓜ Rond-point de la Poste
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues126434642224
Paritéimpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 40 = 2 × 20, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et E : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en H et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à E. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Place du Marché (A), prend l'impasse du Vieux-Four ① vers le sud et atteint Carrefour de l'Hôpital (C).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Haute ②, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (B).
  3. Il tourne à droite dans le chemin Creux ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  5. Il continue tout droit dans le passage du Marché ④, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  6. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  9. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  10. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  11. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (K).
  12. Il prend dans le sentier des Prés ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  14. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑱, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (M).
  15. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑬, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (J).
  17. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑲, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (M).
  18. Il continue tout droit dans la rue Basse ⑳, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (L).
  19. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑰, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (G).
  20. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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