site2wouf.fr : La tournée du jour

Il est toujours stupide de donner des conseils, mais en donner de bons est absolument fatal.

Oscar Wilde

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Peupliers⑫ rue HauteⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② sentier des Prés⑬ rue de la PosteⒷ Place des Tanneursb la bibliothèque
③ rue Neuve⑭ chemin de RondeⒸ Place Sainte-Croixc le cimetière
④ rue du Puits⑮ chemin CreuxⒹ Carrefour du Moulin
⑤ rue du Stade⑯ rue des JardinsⒺ Carrefour de la Mairie
⑥ boulevard du Parc⑰ rue du PontⒻ Place de la Fontaine
⑦ chemin des Vignes⑱ rue des LilasⒼ Rond-point du Stade
⑧ rue Basse⑲ rue des ÉcolesⒽ Rond-point du Pont
⑨ chemin du Lavoir⑳ rue du FourⒿ Carrefour Saint-Roch
⑩ allée des Tilleuls㉑ quai aux FleursⓀ Carrefour du Lavoir
⑪ passage du Marché㉒ rue de l'ÉgliseⓁ Place de l'Église
Ⓜ Rond-point de la Gare
Ⓟ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4224424644242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (D), prend la rue Neuve ③ vers le nord-ouest et atteint Carrefour de l'Hôpital (A).
  2. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  4. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  5. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑬, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  7. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑥, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
  8. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ②, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  10. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  12. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
  13. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  14. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑳, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (P).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (H).
  17. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑱, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (M).
  18. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  19. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (L).
  20. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (M).
  21. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ㉑, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  22. Il continue tout droit dans la rue Basse ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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