site2wouf.fr : La tournée du jour

Je suis né dans les prairies, là où les vents soufflent librement et où rien n'arrête la lumière du soleil. Je suis né là où il n'y a pas de barrières...

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑫ impasse des RosesⒶ Carrefour du Lavoira la poste
② rue Pasteur⑬ rue du MoulinⒷ Place du Vieux-Puitsb l'école
③ venelle du Chat⑭ chemin CreuxⒸ Place aux Herbesc la gendarmerie
④ rue Neuve⑮ rue du PuitsⒹ Rond-point de la Gare
⑤ boulevard du Parc⑯ rue de la PosteⒺ Carrefour Saint-Roch
⑥ chemin du Lavoir⑰ rue des ÉcolesⒻ Rond-point de la Poste
⑦ sentier des Prés⑱ rue du FourⒼ Place de l'Église
⑧ avenue de la Gare⑲ chemin des VignesⒽ Carrefour de l'Hôpital
⑨ allée des Peupliers⑳ chemin de RondeⒿ Carrefour du Moulin
⑩ allée des Tilleuls㉑ rue HauteⓀ Rond-point du Stade
⑪ rue des Lilas㉒ quai aux FleursⓁ Place des Tanneurs
Ⓜ Place du Marché
Ⓟ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4224462465212
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : K, M — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, K et M : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en H et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de K à M. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de K :
  1. Il part de Rond-point du Stade (K), prend la rue de la Poste ⑯ vers le nord et atteint Place de l'Église (G).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (J).
  3. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  4. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ②, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  5. Il tourne à droite dans la rue Verte ①, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (B).
  6. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue Neuve ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  8. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  9. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  10. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes (C).
  12. Il prend dans le sentier des Prés ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (F).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (J).
  15. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑰, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
  17. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑱, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (P).
  18. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  19. Il continue tout droit dans la rue Haute ㉑, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (L).
  20. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑳, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (J).
  21. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  22. Il tourne à gauche dans l'impasse des Roses ⑫, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (M).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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