site2wouf.fr : La tournée du jour

Tout le monde est égal devant le slip.

Jan Bucquoy

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑨ rue du StadeⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue Verte⑩ rue des LilasⒷ Coin du Lavoirb le gymnase
③ rue Basse⑪ chemin du LavoirⒸ Placette des Ormesc la boulangerie
④ rue Pasteur⑫ chemin CreuxⒹ Place aux Herbesd la pharmacie
⑤ rue Neuve⑬ venelle du ChatⒺ Carrefour du Moulin
⑥ passage du Marché⑭ allée des TilleulsⒻ Rond-point des Vaches
⑦ rue de la Poste⑮ impasse VerteⒼ Carrefour des Tilleuls
⑧ rue des Jardins⑯ allée des PeupliersⒽ Place de la Fontaine
Ⓙ Rond-point de la Poste
Ⓚ Carrefour de la Mairie
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJK
Nombre de rues4222644143
Paritépairpairpairpairpairpairpairimpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : H, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, H et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en E et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de H à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de H :
  1. Il part de Place de la Fontaine (H), prend l'impasse Verte ⑮ vers le sud-ouest et atteint Rond-point de la Poste (J).
  2. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑩, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  3. Il continue tout droit dans la rue Basse ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Pont ①, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑤, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (D).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  7. Il prend dans le passage du Marché ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Placette des Ormes (C).
  8. Il tourne à gauche dans la rue Verte ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  11. Il prend dans la rue du Stade ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  12. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  13. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
  14. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (G).
  15. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
  16. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (K).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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