site2wouf.fr : La tournée du jour

Mieux vaut être dévoré par les remords dans la forêt de Forbach qu'être dévoré par les morbacs dans la forêt de Francfort

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdeABCDEFGHJN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑧ rue du StadeⒶ Placette des Ormesa la poste
② rue Verte⑨ rue des ÉcolesⒷ Place aux Herbesb le cimetière
③ rue du Four⑩ sentier des PrésⒸ Rond-point des Vachesc le marché couvert
④ rue du Moulin⑪ chemin du LavoirⒹ Place du Marchéd le stade
⑤ rue du Puits⑫ allée des PeupliersⒺ Carrefour du Lavoire la mairie
⑥ quai aux Fleurs⑬ rue PasteurⒻ Place de l'Église
⑦ impasse du Vieux-FourⒼ Rond-point de la Gare
Ⓗ Carrefour de la Mairie
Ⓙ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdeABCDEFGHJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJ
Nombre de rues224162432
Paritépairpairpairimpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, H — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et H : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en E et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à H. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Place du Marché (D), prend l'impasse du Vieux-Four ⑦ vers l'est et atteint Carrefour du Lavoir (E).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Verte ②, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Pont ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  4. Il continue tout droit dans la rue du Four ③, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  5. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ④, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (F).
  6. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  7. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑥, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
  10. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  12. Il prend dans le sentier des Prés ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  13. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (H).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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