site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑪ sentier des PrésⒶ Rond-point de la Postea la poste
② venelle du Chat⑫ allée des TilleulsⒷ Place du Marchéb la bibliothèque
③ rue Verte⑬ rue de l'ÉgliseⒸ Place du Vieux-Puitsc la mairie
④ rue des Écoles⑭ rue du MoulinⒹ Carrefour des Tilleulsd l'école
⑤ rue du Stade⑮ chemin des VignesⒺ Rond-point du Ponte le gymnase
⑥ quai aux Fleurs⑯ chemin de RondeⒻ Rond-point du Stade
⑦ rue des Jardins⑰ rue de la MairieⒼ Carrefour des Quatre-Chemins
⑧ allée des Peupliers⑱ rue NeuveⒽ Carrefour du Moulin
⑨ rue du Four⑲ boulevard du ParcⒿ Coin du Lavoir
⑩ rue PasteurⓀ Place de la Fontaine
Ⓛ Carrefour de la Mairie
Ⓜ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues522444342242
Paritéimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en A, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste en A et doit y revenir : son départ et son arrivée sont confondus. Aucun carrefour ne peut donc rester impair — et il y en a deux.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (A), prend le chemin Creux ① vers l'est et atteint Place du Marché (B).
  2. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (A).
  4. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ②, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (C).
  5. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Verte ③, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (A).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  8. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  10. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (K).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑱, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  13. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  14. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑩, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  15. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑪, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (J).
  16. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  17. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs (M).
  18. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑲, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (L).
  19. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑭, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).

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