site2wouf.fr : La tournée du jour

Yes, America is gigantic, but a gigantic mistake.

Sigmund Freud (sur Mon tshirt!)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Threads Bluesky Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Tilleuls⑫ chemin de RondeⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② rue du Pont⑬ rue BasseⒷ Coin du Lavoirb la boulangerie
③ venelle du Chat⑭ passage du MarchéⒸ Place du Marchéc le stade
④ chemin des Vignes⑮ rue HauteⒹ Placette des Ormesd le marché couvert
⑤ boulevard du Parc⑯ rue des JardinsⒺ Rond-point du Pont
⑥ sentier des Prés⑰ rue du StadeⒻ Carrefour des Tilleuls
⑦ rue des Écoles⑱ rue du PuitsⒼ Place des Tanneurs
⑧ chemin Creux⑲ rue de la PosteⒽ Carrefour des Quatre-Chemins
⑨ rue Verte⑳ rue PasteurⒿ Carrefour de l'Hôpital
⑩ rue Neuve㉑ allée des PeupliersⓀ Rond-point du Stade
⑪ quai aux Fleurs㉒ avenue de la GareⓁ Fontaine Notre-Dame
Ⓜ Carrefour du Lavoir
Ⓟ Place aux Herbes
Ⓠ Carrefour de la Mairie
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22226424442424
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 2 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il sort de la poste et remonte la rue du Pont ② vers le nord jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  3. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (H).
  4. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  5. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (F).
  6. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (H).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑯, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (Q).
  9. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  10. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  11. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  12. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ③, vers le nord-est, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  13. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ④, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (G).
  14. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  15. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑥, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (C).
  16. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (D).
  17. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  18. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (L).
  19. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑱, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (J).
  20. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑲, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (P).
  21. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ㉒, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (Q).
  22. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ㉑, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (M).
  23. Il reprend alors la rue du Pont ②, dont il lui restait la seconde moitié, et regagne la poste : toutes les rues ont été faites une fois et une seule.
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal