site2wouf.fr : La tournée du jour

C'est bien la pire folie que de vouloir être sage dans un monde de fous.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Neuve⑨ allée des PeupliersⒶ Place du Vieux-Puitsa la poste
② chemin des Vignes⑩ chemin de RondeⒷ Carrefour de la Mairieb l'école
③ chemin du Lavoir⑪ rue de la PosteⒸ Placette des Ormesc la mairie
④ rue Haute⑫ quai aux FleursⒹ Carrefour des Quatre-Cheminsd le gymnase
⑤ sentier des Prés⑬ impasse des CerisiersⒺ Place des Tanneurs
⑥ chemin Creux⑭ rue des ÉcolesⒻ Place de la Fontaine
⑦ rue Verte⑮ rue de l'ÉgliseⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue du StadeⒽ Place du Marché
Ⓙ Place de l'Église
Ⓚ Place Sainte-Croix
Ⓛ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues24262252212
Paritépairpairpairpairpairpairimpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : G, K — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Or la poste n'est pas un carrefour : c'est une adresse au milieu d'une rue. Le facteur y passe donc comme il passe partout ailleurs — il consomme la rue 3 d'un côté en partant, de l'autre en revenant. Le départ et l'arrivée étant confondus, tous les carrefours sont traversés, donc tous doivent être pairs.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, G et K : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Le facteur, lui, part de la poste et doit y revenir : son départ et son arrivée sont le même point, et ce point n'est même pas un carrefour. C'est impossible ici.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de G à K. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de G :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (G), prend la rue du Stade ⑧ vers le nord-ouest et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  2. Il tourne à droite dans la rue Haute ④, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).
  3. Il continue tout droit dans la rue Neuve ①, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (A).
  4. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ②, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (E).
  5. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ③, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (C).
  7. Il prend dans le chemin Creux ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  8. Il continue tout droit dans la rue Verte ⑦, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  9. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑪, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  10. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (J).
  11. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑩, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  12. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché (H).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Place aux Herbes (L).
  14. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  15. Il prend dans l'impasse des Cerisiers ⑬, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (K).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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