site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut améliorer la condition féminine : par exemple agrandir les cuisines, baisser les éviers ou mieux isoler les manches des casseroles.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Peupliers⑫ rue PasteurⒶ Place de l'Églisea la poste
② chemin du Lavoir⑬ boulevard du ParcⒷ Place Sainte-Croixb le cimetière
③ rue de la Mairie⑭ passage du MarchéⒸ Rond-point du Stadec la salle des fêtes
④ rue des Écoles⑮ rue de la PosteⒹ Rond-point du Pontd le stade
⑤ chemin Creux⑯ chemin de RondeⒺ Carrefour du Moulin
⑥ rue du Moulin⑰ rue HauteⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Stade⑱ rue du PontⒼ Place des Tanneurs
⑧ quai aux Fleurs⑲ rue VerteⒽ Coin du Lavoir
⑨ rue des Jardins⑳ rue NeuveⒿ Rond-point des Vaches
⑩ rue des Lilas㉑ avenue de la GareⓀ Carrefour Saint-Roch
⑪ venelle du Chat㉒ rue du FourⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Place de la Fontaine
Ⓟ Placette des Ormes
Ⓠ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22446422444222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point du Pont (D), prend la rue des Écoles ④ vers le nord et atteint Place Sainte-Croix (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ③, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  3. Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ①, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (A).
  4. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  6. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑨, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  9. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (K).
  10. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (J).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (K).
  13. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑳, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑲, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (Q).
  16. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ㉑, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  17. Il continue tout droit dans le passage du Marché ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  18. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑫, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (H).
  19. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑯, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (M).
  20. Il tourne à gauche dans la rue du Four ㉒, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (P).
  21. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs (G).
  22. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (D).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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